LEIBNIZ FÜR JEAN GALLOIS

Accessio ad Arithmeticam Infinitorum ubi et ostenditur Numerum maximum seu numerum omnium numerorum impossibilem esse sive nullum; item quae pro axiomatis habentur, demonstrabilia esse evincitur exemplis.

Constat Scientiam Minimi et Maximi, seu Indivisibilis et Infiniti, inter maxima documenta esse, quibus Mens humana sibi vendicat incorporalitatem. Quis enim sensu duce persuaderet sibi, nullam dari posse lineam tantae brevitatis, quin in ea sint non tantum infinita puncta, sed et infinitae lineae (ac proinde partes a se invicem separatae actu infinitae) rationem habentes finitam ad datam; nisi demonstrationes cogerent. Quam illud vero mirabile etiam summam inire infinitorum continue decrescentium, vel in infinitum intra finitum tamen spatium crescentibus decrescentibusve, limites praescribere; vel infinitorum ductu in se invicem finitas generare figuras, earumque demonstrare proportiones.

Archimedes jam olim usus est Arithmetica Infinitorum atque Indivisibilium Geometria, inscriptisque atque circumscriptis in Dimensione Circuli, in de Sphaera et Cylindro, in Quadratura Parabolae: et Geometriam quidem Indivisibilium resuscitavit nostro seculo Cavalerius obstetricante atque probante Galilaeo; Wallisius Arithmeticam Infinitorum, Jac. Gregorius inscripta ac circumscripta; et vero nisi nova ex indivisibilibus et infinitis Lux affulgeat et ars analyseos provehatur, nulla spes est provehendae magnopere Geometriae.

Veteres dedere nobis Regulam ineundi summam Fractionum sive Rationum Geometrica progressione in infinitum decrescentium. Quantitate enim data, exposita, linea AB eaque linea ita continue secta et subsecta, ut ea sit continue ratio subsectionis ut AD ad sectionem ut AC, quae est sectionis AC ad totum ut AB seu ut aequales sint rationes: $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}{=}^{@}+\frac{AD}{AE}=$ etc. Tunc quae est ratio CB (residui ex toto AB, detracta sectione AC) ad totum AB, ea erit ratio totius AB ad totum compositum ex toto, et adhuc semel sectione, et adhuc sectionis sectione, etc. simul sumtis, seu $\frac{CB}{AB}{=}^{@}+\frac{AB}{AB+AC+AD+AE+etc.}$ Hujus Regulae demonstrationem tentatam vidi a doctis quibusdam Viris, sed non absolutam, ego eam non demonstro tantum ex principio universali, sed et consequentiam ex ea duco elegantem, scilicet:

Sumtis Fractionibus continue decrescentibus, quarum numerator sit unitas, Nominatores vero termini progressionis cujusdam geometricae, summa Fractionum omnium progressionis datae, erit Fractio prima progressionis Geometricae praecedentis. Ut: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$ etc. = $\frac{1}{1}.$ Et $\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}[etc.]=$ $\frac{1}{2}.$ Et $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+[\frac{1}{64}]+\frac{1}{256}[etc.]=$ $\frac{1}{3}.$ Et ita porro.

Sed hoc parum est, accedamus ad ea de quibus ne regula quidem hactenus fuit. Cum aliquando Illustri Hugenio narrassem, esse mihi rationes quasdam summandi series nonnullas in infinitum decrescentes, quarum computatio hactenus prodita non est; Ille proposuit mihi sequentem, fractionum, quarum numerator unitas, Nominatores vero Numeri Triangulares 0.¹ 1.² 3.³ 6.⁴ 10.⁵ 15.⁶ 21.⁷ 28 etc. quorum differentiae scilicet sunt naturales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. etc. summamque quaerere jussit. Sibi aliquando de calculo Aleae aliorumve ludorum fortuitorum meditanti hac summa fuisse opus, inventamque a se, sed nondum publicatam. Quaesivi, invenique summam esse binarium, seu $\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{28}$ etc. = 2. Quod cum Hugenio monstrassem, verum esse fassus est, conveniensque calculo etiam suo.

Ego vero eadem opera inveneram Methodum Universalem summandi series Fractionum sive Rationum non hujus tantum progressionis, Triangularium, cum differentiae terminorum sunt numeri naturales, sed etiam Progressionis Pyramidalium, ut vocant, cum differentiae Terminorum sunt numeri Triangulares; et Triangulo-Triangularium, cum differentiae sunt Pyramidales; et Triangulo-Pyramidalium, cum differentiae sunt TrianguloTriangulares, et Pyramido-Pyramidalium, cum differentiae terminorum sunt numeri Triangulo-Pyramidales, et ita in infinitum. Inspice Tabulam subjectam.

Et hi sunt Numeri, quorum series, alii vocant Ordines Numericos, alii Combinatorios, alii Numeros Progressionis Symmetricae, Pascalius eorum usus sane multos exposuit in Triangulo Arithmetico, seu tractatu quem de iis dedita opera scripsit. Ego Numeros appellare soleo, Progressionis Arithmeticae Replicatae. Nam pro Unitatibus substitui possunt Numeri quicunque, ut Binarii, Ternarii, pro Numeris Naturalibus Numeri quilibet progressionis Arithmeticae, a differentia sua incipientis, ut pro 1. 2. 3. 4 etc. 2. 4. 6. 8 etc. Eademque manet Tabula, proportionaliter, tantum enim, si generator sit binarius, omnes termini duplicantur, et si sit ternarius, omnes termini triplicantur, etc.

Regula Universalis haec est: Summa seriei fractionum, quarum numerator est generator, nominatores sunt termini cujusdam progressionis Arithmeticae Replicatae, seu, quod idem est, summa rationum in quibus antecedens Unitas, consequens est terminus progressionis Arithmeticae Replicatae Unitatem habentis generatricem, haec summa, inquam, est fractio seu ratio cujus numerator seu antecedens est exponens seriei proximae praecedentis seu penultimae (data scilicet supposita ultima) nominator vero seu consequens est exponens seriei proxime praecedentis praecedentem, seu antepenultimae. Exponentem hoc loco voco Numerum seriei seu numerum ordinalem Replicationis qui scilicet exprimit quota sit replicatio. Ita seriei $\frac{1}{1},\frac{1}{1},\frac{1}{1}$ etc. exponens est 1. Seriei 1. 2. 3. 4 etc. exponens est 2. Cum enim in prima tantum semel repetita sit unitas generatrix, in secunda ipsae replicationes seu repetitiones replicantur, in tertia $\frac{1}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{10}$ etc. repetuntur replicationes replicationum. Quodsi generator sit unitas, numerus seriei seu Exponens gradus coincidit numero ejus primo post unitatem, ut in tertia 3. Exponentem voco exemplo progressionis Geometricae, ut enim radicum exponens 1. quadratorum 2. cuborum 3. etc. ita hoc loco generatorum 1. naturalium 2. Triangularium 3.

Hinc ergo seriei fractionum Triangularium, $\frac{1}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{10},\frac{1}{15},\frac{1}{21},\frac{1}{28}$ etc. summa est $\frac{2}{1}$ seu ratio exponentis naturalium ad Unitatem. Nam series praecedens seriem 1. 3. 6. 10. 15 etc. nempe series 1. 2. 3. 4. 5. 6 etc. habet exponentem 2. Et series praecedens dictam seriem praecedentem, nempe 1. 1. 1. 1. 1. 1 habet exponentem 1, hinc fit $\frac{2}{1}.$ Ergo et summa seriei fractionum Pyramidalium, $\frac{1}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{10},\frac{1}{20},\frac{1}{35}$ etc. est ratio exponentis Triangularium ad exponentem

Methodum autem ista inveniendi ac demonstrandi ipsam, cum admodum prolixa sit, et multis lemmatis indigeat, aliquando cum multis aliis ejusdem generis ubi majus digerendi otium suppetierit, publici juris faciam.

Hoc loco vero amittere non possum occasionem mihi praebitam admonitionis cujusdam circa naturam numeri infiniti omnium numerorum. Galilaeus in dial. Mechan. 1. infinitum Numerum comparat unitati. Cum enim ita ratiocinatus esset. Omnis numerus in infinitum habet suum quadratum, suum cubum, etc. (si enim ducatur in se ipsum, producitur utique ejus quadratus, cubus etc.) Ergo tot sunt Numeri quadrati, item cubi etc. quot radices seu numeri simpliciter, quod est impossibile. Semper enim inter Numeros Quadratos multi alii interjiciuntur non Quadrati, et adhuc magis inter Cubicos non Cubici. Quid ergo? attributa aequalis, majoris, minoris, non habere locum in infinito. Et subjicit si ullus sit numerus infinitus, eum esse unitatem, in ea enim esse illud necessarium requisitum numeri omnium unitatum infiniti, ut tot sint in ea radices, quot quadrati et cubi. Unitatis enim quadratum et cubus etc. est unitas. Haec ille. Ego vero ajo: si ullus sit iste numerus infinitus, eum esse zero, seu Nullam, vel quod idem est dicere, Numerum istum infinitum esse nullum, seu = 0. Habet enim Numerus infinitus non id tantum quod in eo observavit Galilaeus, ut tot sint in eo omnis generis potestates, quot radices, sed etiam ut tot sint in eo numeri simpliciter, id est pares et impares simul, quot numeri pares, quia pares sunt dupli numerorum simpliciter, quot autem sunt simpli tot eorum dupli. Eodem modo colligitur tot esse numeros simpliciter, quot pares seu binarios, et quot ternarios, seu numerorum simpliciter triplos, et quot quaternarios etc. triangulares et pyramidales etc. Eodem modo probatur tot esse numeros simpliciter, quot numeros datae cujusdam progressionis Arithmeticae, Geometricae, mixtaeque aut replicatae, cujuscunque in infinitum euntis. Etsi plusquam manifestum sit inter binarios seu pares alios non pares et adhuc magis inter ternarios alios non ternarios interjici. Cum ergo in numero isto infinito tot sint Numeri pares, quot numeri pares et impares simul, seu quot numeri simpliciter, sequitur in Numero isto infinito fallere Axioma illud: totum esse majus parte (quemadmodum P. Gregorius a S. Vincentio id contendit fallere in angulo contactus), at Axioma illud fallere impossibile est, seu quod idem est, Axioma illud nunquam, ac non nisi in Nullo seu Nihilo fallit, Ergo Numerus infinitus est impossibilis, non unum, non totum, sed Nihil. Ergo Numerus infinitus = 0. Et vero in 0 seu zero non haec tantum a Galilaeo in unitate observata Infiniti proprietas est, sed et aliae omnes, nam quadratum et cubus de 0 est 0, et duplum triplumque de 0 est 0, et 0 + 0 = 0, totum parti. Idem ne praeter rem huc digressus videar, hac serierum in infinitum progredientium collectione in summam, comprobatur. Nam in fractionibus Geometricae progressionis summandis dictum est summam sequentis seriei esse primam fractionem seriei antecedentis, et $\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}$ etc. = $\frac{1}{2},$ item $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$ etc. = $\frac{1}{1}.$ Ergo $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=\frac{0}{0}.$ Jam 1 + 1 + 1 etc. constituit numerum infinitum. Idem plane evenit in Tabula proxime praecedente Fractionum progressionis Arithmeticae replicatae,

übernommen wurde, hat Leibniz durch den Folgetext ersetzt.

Idem locus nos debet admonere, si rigorose agendum sit, si perficienda sit philosophia, nullam esse recipiendam propositionem, nisi quae aut sensus observatione immediata constet, aut sit demonstrata, exceptis definitionibus, quae ut toties in suis scriptis inculcat Galilaeus, arbitrariae sunt ac disputationis expertes, modo clarae. Cum enim haec ipsa propositio: totum esse majus parte, dubitationem receperit apud maximos Geometras, quales sunt Galilaeus, et Gregorius a S. Vincentio, ullasne alias imposterum per se notas clamitare pergemus, cum Galilaeus crediderit Numerum infinitum esse aliquid seu unum totum, comparat enim unitati, et tamen in eo neget habere locum majoritatem, seu ipsum totum partibus esse majus.

At vero cum Hobbius, quod unum ego ab eo inprimis recte praeclareque factum arbitror, demonstraverit atque in numerum theorematum hoc axioma reduxerit totum esse majus parte; Ego audacter inde colligo Numerum infinitum esse 0, quod non fecerat Galilaeus.

In eo vero lapsus est Hobbius, quod colligit veritatem omnium propositionum esse ab arbitrio humano. Primum enim eae quae sensu constant, ut me a me sentiri sentientem, excipiendae sunt: sed et eae quae ex sensu cognitis, adhibitis definitionibus, demonstrantur, ut quae ex praecedenti demonstrantur: me sentire seu cogitare, item: me esse. Sensu enim certum est me a me sentiri sentientem. Ergo me sentientem sentiri immediate, seu sine medio, inter me enim et me, in mente scilicet, medium nullum est. Quicquid immediate sentitur, id immediate sensibile est. Quicquid immediate sensibile est, sine errore sensibile est (omnis enim error a medio sentiendi, ut alibi demonstrandum suppono). Quicquid sensibile est sine errore, id est, hinc sequitur me esse sentientem, seu veram esse propositionem: ego sum sentiens, ac per consequens reflecto: sentiens ego sum. Excipiendae etiam sunt propositiones identicae seu ejusdem affirmatio de seipso, verbis iisdem. At cum idem dicitur de seipso verbis aequipollentibus ut definitio de [definito], aut definitiones diversae ejusdem definiti de se invicem, aut pars definitionis unius de definito, vel alia ejusdem definiti definitione, manifestum est propositionis veritatem esse ab arbitrio humano. Definitio enim ab arbitrio humano est. At vero omnia axiomata quae a sensu non pendent, imo omnia scientiarum a sensu et experimentis independentium theoremata sunt propositiones ejusmodi, quod et Aristoteles animadvertit, qui unicum posuit demonstrandi principium: definitionem. Et vero Axiomata omnia quae Euclides velut principia praemisit Elementis ex definitionibus demonstrabilia sunt. Quid discimus ergo inquies, cum theoremata talium scientiarum pervestigamus? Nihil inquam nisi celeriter «et dis»tincte cogitare «ad us»um seu aptis quibusdam symbolis ad ordinandas «jam» olim cognitas et a sensibus acceptas ideas «uti», sive ea symbola sint nomina, sive characteres. Ut in numeris, quis n«on vi»det nihil novi disci in tota arithmetica, nisi nomina numeralia «et eorum variu»s recursus, qui si rursus «incipiunt» harmonice fiunt, hinc «patet u»ti theoremata eliciuntur et uti«litas chara»cterum «inde» maxime elucet, cum par«atis symbolis multum supprimi» potest quod a«lias non posset, ut» cum integrae cujusdam progres«sionis s»umma facile initur. Et haec maxime apparent ex Algebra, ubi nemo non videt, omnia symbolis varie transpositis agi, ingenti fructu, non quod nova discantur, sed quod res nude exhibentur menti. Quare si vel linguam, vel saltem scripturam haberemus philosophicam, de qua a me dictum est in Arte Combinatoria, quae scilicet pro Alphabeto uteretur Elementis cogitandi, res scriberentur definitionibus suis. Et quod in Algebra aequationes, id theoremata ubique essent, et infinita problemata proponi solvique et theoremata nullo negotio demonstrari possent, nec ea scriptura uti [cuiquam] nisi rerum intelligenti fas esset et in potestate foret uniuscujusque ut in Arithmetica sine errore ratiocinari. Atque hujus scripturae Universalis sive Characterismi philosophici Algebra tam numerosa quam speciosa non nisi pars seu specimen est. Quod a maximis viris non satis animadversum miror. Ego vero specimen

Idem locus nos debet admonere, si severe agendum sit, si perficienda sit philosophia, nullam recipiendam esse propositionem, nisi quae aut sensus observatione immediata constet, aut ex clara distinctaque imaginatione, id est idea, vel, quae ideae significatio est, definitione, sit demonstrata (: exceptis scilicet ipsis definitionibus, quae ut toties in suis scriptis inculcat restaurator philosophiae Galilaeus, arbitrariae sunt, nec falsitatis, sed ineptiae obscuritatisque tantum arguendae :).

Cum enim ista propositio: totum esse majus parte, dubitationem receperit apud maximos Geometras, quales certe Galilaeus et P. Gregorius a S. Vincentio fuere, ullasne alias imposterum per se notas clamitare pergemus?

Galilaeus certe credit Numerum Infinitum esse aliquid, seu Unum Totum, comparat enim Unitati, et negat tamen in eo habere locum majoritatem seu hunc ipsum numerum totum [parte] esse majorem seu numeros simpliciter id est quadratos et non quadratos plures esse numeris quadratis vel totum esse majus parte.

Ego vero cum habeam pro comperto, omne totum sua parte majus esse, audacter concludo, Numerum istum infinitum sive Numerum maximum seu omnium Unitatum possibilium summam, quam et infinitissimum appellare possis, sive numerum omnium numerorum esse 0 seu Nihil. Et demonstratio nova vel ex eo suppetit, quod numerus maximus est summa omnium unitatum sive numerus omnium numerorum, at summa numerorum necessario major est numero numerorum ut 1 + 2 + 3 + 4 etc. majus quam 1 + 1+ 1 + 1 etc. Ergo numerus maximus non est numerus maximus, id est numerus maximus est 0. Etsi non ideo infinitas partes continuo aut interminatam magnitudinem spatio temporique protenus negem.

Hinc apparet etiam propositiones istas: eidem aequalia etiam inter se esse, aequalia aequalibus addita vel demta facere aequalia, totum esse majus parte, aequimultiplicia esse ut simpla, si proportionalibus addantur demanturve proportionalia, producta esse proportionalia etc., cum dubitationis capaces sint, demonstratione indigere, et si sunt verae, demonstrabiles esse, ex terminis scilicet, seu definitionibus. Atque id voluere scholastici, ex terminis inspectis innotescere primas veritates, id est faciles esse demonstratu ac definitionibus vicinas; contra quam illi qui nescio quo lumine naturali per se notas putant. Cum constet quaedam ab aliquibus inter per se nota poni, quae ab aliis rejiciantur aut distinguantur, nec criterion afferri per se noti nisi forte opinionem communem, quae praeterquam quod dubitationibus obnoxia est, probabilia

Stelle verwirft und am Schluß in erweiterter Form wieder aufgreift.

Facilem autem esse debere axiomatum ex definitionibus demonstrationem, ita exemplo ostenditur. Totum et partem ita mutua relatione definiemus: Si partes sint *a~~, b etc., totum erit a + b etc. Majus et minus ita: Si *a~~ sit minus, et c sit majus, c esse aequale ipsi a + b seu c = a + b. Conferamus utramque definitionem, connectetur demonstratio: Totum = c = a + b = majus, pars = *a~~ = a = minus. Ita *a~~ = b et c = d,     a + c = ergo     ; eodem modo si pro + substituas ─ ; nam + et ─ res nulla nova hypothesi adjecta tantum   = b + d cogitatione conjungunt. Idem sic probes prolixius: a = b et c = d. Ergo a = c et a = d et b = c et b = d. Ergo a + b = c + b et c + b = c + d. Ergo a + b = c + d. Definitio enim aequalitatis est, ut alterum alteri substitui possit salva quantitate, cum aequalia sint, quorum eadem est quantitas, quare aequalia eidem aequalia esse inter se statim intelligitur. Si enim a = c et b = c, substituatur in alterutro alterum, pro tertio habemus a = b. Porro ita esse simpla ut dupla, sic probabimus: $\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$ ; nam $\frac{2a}{2b}=\frac{2}{2}\frac{-}{-<bo>ab}.$ Jam $\frac{2}{2}=1$ et 1 = $\frac{1}{1},$ ergo $\frac{2a}{2b}=\frac{1a}{1b}$ et hoc = $\frac{a}{b}.$ Satis haec clara

At vero, inquiet aliquis, si omnia Axiomata ex definitionibus nominum demonstrabilia sunt, omnes veritates pendebunt ab arbitrio humano, cum arbitrariae sint nominum definitiones, quae sententia in Hobbio a doctis improbata est. Huic respondeo propositiones a definitionibus pendere, quatenus verbis aliisve symbolis exprimuntur. At cogitationes asymbolas, seu ipsarum idearum connexiones, aut a sensu esse, aut a distincta imaginatione, cum res proposita tamdiu distinguitur considerando in partes duciturque per circumstantias, quamdiu nihil novi occurrit, quod ad rem praesentem pertineat. Hinc pro mutatis relationibus theoremata variantur, ut eadem urbs pro latere aspectus, figuram mutat. Distinguendum ergo mihi videtur inter propositiones, aliarum enim veritatem pendere a sensu uti sunt experimenta et observationes Naturae, aliarum autem a clara distinctaque imaginatione seu ideis, vel si mavis definitionibus, nihil enim definitio aliud quam ideae significatio est, uti sunt theoremata Arithmeticae et Geometriae. Notae ergo symbolaque arbitraria sunt, sive sint verba, sive characteres, ideae ipsae omnibus gentibus eaedem obversantur. Etsi in rebus valde compositis soleamus uti symbolis in ratiocinando, sine ulla consideratione ipsarum idearum, quas cogitationes voco caecas, cum in iis contenti simus analogia parvarum simpliciumque distincte comprehensarum, ut cum 100 000 dicimus, nemo omnes hujus numeri unitates sibi mente fingit, scit enim eo labore sibi post symbola supersedere licere. Et in eo consistit ars symbola excogitandi, ut sint compendiosiora ipsis Ideis, et tamen confusionis expertia, aptaque ad omnis generis proportiones in ipsis non minus facile, quoad ejus fieri potest detegendas ac si in ultima elementa, fuissent resoluta, seu clare distincteque intellecta. Et hoc in numeris sic satis praestat progressio denaria. Sine progressione enim ejusmodi impossibile fuisset mortalibus ingentes numeros supputare, ob taedium. Idem in Geometria praestat Algebra, adeo ut impossibilibus etiam assumtis, ut sunt dimensiones ultra tertiam transgressae, numerique surdi et nihilo minores, suum tamen consequatur.

Cum ergo symbolis apte inventis velut machinis spiritualibus, tantopere mens nostra sublevetur, ea autem quae hactenus praeterquam in scientiis mathematicis puris habemus (quanquam et in his multa desiderem), neque simplicia, neque plena, neque ordinata sint, hinc apparet de tota ratiocinatione humana neminem mereri posse melius, quam qui excogitet sive Linguam, sive quod sufficit, Scripturam Philosophicam; severis tantum inquisitionibus inservituram, ut a me expositum est sex abhinc annis Dissertatione de Arte Combinatoria, puerili ea quidem, Academico scilicet more, cujus tamen ne nunc quidem omnia asperner. Ibi monui omnes propositiones scientiarum purarum, seu a sensu independentium (etsi earum veritas sensu quoque velut examinari confirmarique possit) quales sunt scientiae quoque de actione in universum, de Ratiocinatione, de motu, de utili, de justo, nihil aliud [faciunt] quam pronuntiare aut definitionem partemve ejus (aut partis, partisve partis definitionem ex toto vel parte) de definito aut de definitione alia ejusdem definiti. Eandem ideam exprimi posse variis definitionibus; atque inde foecundam nasci condendorum theorematum artem. Quod et alicubi fatentem memini Pascalium, ubi eorundem theorematum variatam enunciationem commendat, et in ea consistere debere ait omne studium Geometrarum. Sic enim ad nova et intacta viam aperiri. Idem et Cujacius notavit in Paratitlis, ejusdem nominis multas definitiones utiliter proponi. Idem enim sunt definitiones in Characteristica illa Universali, quod aequationes in Algebra.

Sed age demonstrabilitatem axiomatum in exemplum propositorum opere ipso potius quam verbis ostendamus:

Primum: eidem tertio aequalia esse inter se aequalia statim intelligitur ex definitione aequalitatis; Sunto enim a = b et b = c, ajo a = c. Nam cum aequalia sint quorum eadem est quantitas, seu quorum alterum in alterius locum substitui potest, salva quantitate, substituamus ergo vel c in locum b in aequatione a = b vel a in locum b in aequatione b = c fiet utrobique a = c. Q.E.D.

Secundo: aequalia aequalibus addita vel demta facere aequalia a = b et c = d, ajo a + c = ^@+b + d. Nam a + c = b + c (quia a = b) et b + c = b + d (quia c = d), ergo a + c = b + d.

Tertio: Totum esse majus parte. Nam si (defin. 1) partes sint a, b, totum (defin. 2) erit

Item si minus (defin. 3) sit idem *a~~, majus (defin. 4) erit c = *a~~ + b. Conjunctis definitionibus connectetur demonstratio: Totum = a + b (defin.2) a + b = c (defin. 4) c = majus (dict. defin. 4), Am Rande in l von Leibniz' Hand: Sint partes (darüber: defin. 1) p, p*, totum (darüber: defin. 2) p + p*. Majus quam (darüber~~: defin. 3) p sit p + y. Per y intelligendo indefinitam quamlibet, ergo in defin. 3 pro y substituendo p erit p + p* majus quam p, id est per defin. 2, 3 totum erit majus parte. pars = a (def. 1), a = minus (defin. 3).

*Quarto: aequimultiplicia esse ut simpla, v.g. ut sunt tria ad quatuor ita sunt bis tria ad bis

*Ne qua autem dubitatio restet \frac{ca}{cb} = \frac{c}{c} ^#(GES) $\frac{a}{b}$ ita probo: \frac{c}{c} ^#(GES) \frac{a}{b} = <z2>c ^#(GES) <zo>a<no>b<bz>c = <z2><zo>ca<no>b<zw><n2><zu>c = $\frac{ca}{cb}.$ Est autem hoc loco ^#(GES) signum

Quinto: Si proportionalibus addantur demanturve proportionalia, producta esse proportionalia. *Ut cum ita sint 4 ad 8 ut 3 ad 6, etiam 4 + 3 seu 7 ad 8 + 6 seu 14, eodem modo erit, seu $\frac{a}{b}{=}^{@}+\frac{c}{d},$ ergo = $\frac{a+c}{b+d}.$ Ante omnia praedemonstro hoc lemma: bc = ad. Nam quia $\frac{a}{b} = ^@+\frac{c}{d} ,$ ergo multiplicando utrumque per d erit $\frac{ad}{b}{=}^{@}+\frac{c}{1},$ ergo multiplicando utrumque per b erit ad =

*Consequentia patet: nam \frac{a + c}{b + d} ^#(KP) \frac{a}{b} = ^@+\frac{a + c}{b + d} ^#(VER) $\frac{a}{b}$ quia hoc a + c ^#(VER) abb + d = ^@+a + c ^#(VER) a ^#(VER) 1bb + d = ^@+a + c, ^#(GES) b ^#(VER) bbb + d, ^#(GES) a =

*Antecendens probo: \frac{a + c}{b + d} ^#(KP) $\frac{a}{b}{=}^{@}+\frac{ba+bc}{ab+ad}.$ Jam bc = ad per lemma praemissum. Ergo $\frac{ba+bc}{ab+ad}{=}^{@}+\frac{ba+bc}{ab+bc}=1.$ *Intelligitur ex ultimo exemplo propositionem istam quintam inter axiomata positam non facilioris esse demonstrationis quam alias nonnullas quae theorematis accensentur. Exempli causa theorema est: si duae rationes sint aequales, etiam earum conversas esse aequales: id ita* *demonstratur facillime: $\frac{a}{b}{=}^{@}+\frac{c}{d}$ ajo $\frac{b}{a}{=}^{@}+\frac{d}{c}.$ Nam si \frac{b}{a} ^#(KP) $\frac{d}{c}=1,$ erit $\frac{b}{a}{=}^{@}+\frac{d}{c}.$ Antecedens probo: \frac{b}{a} ^#(KP) $\frac{d}{c} = ^@+\frac{bc}{da} = ^@+\frac{bc}{bc} = ^@+1.$ Nam per lemma dictum, bc = ^@+da. Atque ista quidem sufficere arbitror in exemplum.