No. XX

Defin. 1 . Eadem seu coincidentia sunt quorum alterutrum ubilibet potest substitui alteri salva veritate. Exempli gratia, Triangulum et Trilaterum, in omnibus enim propositionibus ab Euclide demonstratis de Triangulo substitui potest Trilaterum, et contra, salva veritate.

A = B significat A et B esse eadem, ut de recta XY et recta YX dicemus: YX = XY, seu coincidere viam brevissimam Mobilis ab N ad Y et ab Y ad X.

Defin. 2. Diversa sunt quae non sunt eadem, seu in quibus substitutio aliquando non procedit. Talia sunt circulus et triangulum, item quadratum (scil. perfectum, ita enim semper intelligunt Geometrae) et quadrangulum aequilaterum, hoc enim de rhombo dici potest, de quo tamen quadratum dici nequit.

A non = B significat A et B esse diversa, ut rectae XY et RS.

Propos. 1. Si A sit = B, etiam B erit = A. Si quid idem sit alteri, alterum idem erit ipsi. Nam quia A = B (ex hypothesi), Ergo (per def. 1) in enuntiatione A = B (vera ex Hyp.) poterit substitui B in locum A, et A in locum B, ergo fiet B = A.

Prop. 2. Si A non = B, etiam erit B non = A. Si quid diversum sit ab altero, alterum erit diversum ab ipso. Alioqui sit B = A. Ergo (per praeced.) erit A = B, quod est contra Hyp.

Prop. 3. Si A = B et B = C, erit A = C. Eadem uni tertio sunt eadem inter se. Nam si in enuntiatione A = B (vera ex Hyp.) substituatur C in locum B (per def. 1 ob B = C) fiet propositio vera.

Coroll. Si A = B et B = C et C = D, erit A = D; et ita porro. Nam A = B = C, ergo A = C (prop. hic). Rursus A = C = D, ergo (prop. hic) A = D. Hinc cum aequalia sint magnitudine eadem, consequens est aequalia uni tertio esse aequalia inter se. Euclides effecturus triangulum aequilaterum facit quodlibet latus aequale basi, unde consequens est aequari inter se. Si quid moveatur in circulo, tantum ostendendum est semper duarum proximarum duarum periodorum seu reditionum ad idem punctum vias in se coincidere, ut concludatur quarumlibet periodorum vias coincidere.

Prop. 4. Si A = B et B non = C, erit A non = C. Si duorum quae sunt eadem inter se, unum sit diversum a tertio, etiam alterum ab eodem erit diversum. Nam si in propositione B non = C (vera ex Hyp.) substituatur A in locum B, fiet (per def. 1 ob A = B) propositio vera A non = C.

Def. 3. A inesse in L seu L continere A idem est ac pro pluribus inter quae est A simul sumtis coincidens poni L.

Def. 4. Omnia autem quibus inest quicquid est in L, simul dicentur componentia respectu ipsius L compositi vel constituti.

B+N = L significat B esse in L, seu L continere B; at B et N simul constituere vel componere L. Idem est in pluribus.

Def. 5. Subalternantia voco quorum unum alteri inest, ut A et B sive B insit ipsi A, sive A ipsi B.

Def. 6. Disparata quorum neutrum alteri inest. .. Axiom. 1. B+N = N+B seu transpositio hic nihil mutat.

Postulatum 1. Dato quolibet sumi potest aliquid ab eo diversum, et si placet, disparatum, seu ut unum alteri non insit.

Postulatum 2. Plura quaecunque ut A, B simul sumi possunt ad unum A+B seu L componendum.

Axiom. 2. A+A = A. Si nihil novi addatur, nec novi aliquid fit, sive repetitio hic nil mutat. (Nam licet 4 nummi et alii 4 nummi sint 8 nummi, non tamen 4 Nummi, et iidem 4 Nummi adhuc semel numerati). .. Prop. 5. Si 4 est in B, et sit A = C, etiam C est in B. Coincidens inexistenti est inexistens. Nam in propositione: A est in B (vera ex hyp.) pro A substituendo C (per def. 1. coincidentium, quia A = C ex hyp.) fit C esse in B.

Prop. 6. Si C est in B, et sit A = B, etiam C erit in A. Quod uni coincidentium inest, etiam alteri inest. Nam in prop. C est in B, pro C substituendo A (quia A = C) fit A esse in B. (Est conversa pracedentis).

Prop. 7. A est in A. Unumquodque est in se ipso. Nam A est in A+A (per defin. inexistentis seu per def. 3) et A+A = A (per axiom. 2). Ergo (per prop. 6) A est in A.

Prop. 8. A est in B, si A = B. Coincidentium unum est in altero. Patet ex praecedenti. Nam A est in A (per praeced.) id est (ex hypothesi) in B.

Prop. 9. Si A = B, erit A+C = B+C. Si eidem adjiciantur coincidentia, fiunt coincidentia. Nam si in propositione A+C = A+C (per se vera) pro A semel substituas coincidens B (per def. 1), fiet A+C = B+C.

A triangulum, B trilaterum A+C triangulum aequilat.B+C trilaterum aequilat. coincidunt coincidunt. Scholium. Haec propositio converti non potest, multoque minus duae sequentes, et infra in probl. quod est prop. 23 docebitur modus instantiam reperiendi.

Prop. 10. Si A = L et B = M, erit A+B = L+M. Si coincidentibus adjiciantur coincidentia, fiunt coincidentia. Nam quia B = M, erit (per praeced.) A+B = A+M, et pro posteriori A ponendo L (quia A = L ex Hyp.) fiet A+B = L+M.

A triangulum, L trilaterum coincidunt, B regulare, M capacissimum isoperimetrorum isopolypleurorum coincidunt. Triangulum regulare et trilaterum sub tribus lateribus eandem peripheriae magnitudinem facientibus capacissimum coincidunt. Scholium. Haec propositio converti non potest, neque enim si sit A+B = L+M et A = L, sequitur statim esse B = M; et sequens multo minus converti potest.

Prop. 11. Si A = L et B = M et C = N, erit A+B+C = L+M+N. Et ita porro. Si sint quotcunque proposita, et totidem alia illis respective coincidentia singula singulis, compositum ex illis coincidet composito ex istis. Nam (ex praeced. quia A = L et B = M) fiet A+B = L+M. Unde quia C = N fiet (rursus per praeced.) A+B+C = L+M+N.

Prop. 12. Si B est in L, erit A+B in A+L. Si idem adjicatur contento et continenti, factum prius inest posteriori. Nam sit L = B+N (per defin. inexistentis), et A+B est in B+N+A (per eandem) hoc est in L+A.

B aequilaterum, L regulare, A quadrilaterum. Aequilaterum inest seu tribuitur regulari. Ergo quadrilaterum aequilaterum inest quadrilatero regulari sive quadrato perfecto. YS est in RX. Ergo RT+YS seu RS est in RT+RX seu in RX.

Scholium. Haec propositio converti non potest, neque enim si A+B est in A+L, sequitur esse B in L.

Prop. 13. Si L+B = L, erit B in L. Si quid adjecto alio non fit aliud, adjectum ei inest. Nam B est in L+B (per definitionem inexistentis) et L+B = L (ex hyp.), ergo (per prop. 6) B est in L.

RY+RX = RX, Ergo RY in RX

RY in RX, ergo RY+RX = RX

Sit L parallelogrammum (cujus quodlibet latus alicui lateri parallelum est)

B quadrilaterum

Parallelogrammum quadrilaterum idem est quod parallelogrammum,

Ergo quadrilaterum esse inest parallelogrammo.

Vicissim quadrilaterum esse inest parallelogrammo,

Ergo parallelogrammum quadrilaterum idem est quod parallelogrammum.

Prop. 14. Si B est in L, erit L+B = L. Subalternantia nihil componunt novi seu si quid alteri inest adjectum ei, non facit aliud ab eo. Conversa praecedentis. Si B est in L, erit (per def. inexistentis) L = B+P, ergo (per prop. 9) L+B = B+P+B, hoc est (per ax. 2) = B+P, quod (ex hyp.) = L.

Prop. 15. Si A est in B et B est in C, etiam A est in C. Contentum contenti est contentum continentis. Nam A est in B (ex hyp.), ergo A+L = B (per def. inexist.). Similiter quia B est in C, erit B+M = C, in qua assertione pro B ponendo A+L (quae coincidere ostendimus) fiet A+L+M = C. Ergo (per def. inexist.) A est in C.

RT est in RS et RS in RX,

Ergo RT est in RX.

A quadrilaterum, B parallelogrammum,

C rectangulum.

Quadrilaterum esse inest parallelogrammo, et parallelogrammum esse inest rectangulo (hoc est figurae cujus omnis angulus rectus). Ergo quadrilaterum esse inest rectangulo. Inverti haec possunt, si pro notionibus per se consideratis spectemus singularia sub notione comprehensa, et fieri potest A rectangulum, B parallelogrammum, C quadrilaterum. Nam omnia rectangula sunt in numero parallelogrammorum comprehensa, et omnia parallelogramma in numero quadrilaterorum. Ergo et rectangula omnia in quadrilateris continentur. Quemadmodum omnes homines continentur in omnibus animalibus, et omnia animalia in omnibus substantiis corporeis, ergo et omnes homines in substantiis corporeis continentur. Licet contra notio substantiae corporeae in notione animalis et notio animalis in notione hominis insit. Hominem enim esse continet animal esse.

Schol. Haec propositio converti non potest, et sequens multo minus.

Coroll. Si A+N est in B, etiam N est in B. Nam N est in A+N (ex def. inexist.).

Prop. 16. Si A est in B, et B est in C, et C est in D, etiam A est in D. Et ita porro. Contentum contenti a contento est contentum continentis. Nam si A est in B et B est in C, etiam A est in C (per praeced.). Unde si C est in D, tunc (rursus per praeced.) etiam erit in D.

Prop. 17. Si A est in B et B est in A, erit A = B. Quae se mutuo continent coincidunt. Nam si A est in B, erit A+N = B (per def. inexist.). Jam B est in A (ex hyp.), ergo A+N est in A (per prop. 5). Ergo (per coroll. prop. 15) etiam N est in A. Ergo porro (per prop. 14) A = A+N seu A = B.

RT, N; RS, A; SR+RT, B.

Trilaterum esse inest triangulo, et triangulum esse inest trilatero. Ergo coincidunt triangulum et trilaterum. Sic omniscium esse omnipotentem esse. Prop 18. Si A est in L et B est in L, etiam A+B erit in L. Quod ex duobus eidem inexistentibus componitur, eidem inest. Nam quia A est in L (ex Hyp.), poterit intelligi A+M = L (per def. inexistentis). Similiter quia B est in L, poterit intelligi B+N = L. Quae conjungendo fiet (per prop. 10) A+M+B+N = L+L. Ergo (per Axiom. 5) A+M+B+N = L. Ergo (per defin. inexist.) A+B est in L.

RYS est in RX YST est in RXErgo RT est in RX.

A aequiangulum, B aequilaterum, A+B aequiangelum aequilaterum seu regulare, L quadratum. Aequiangulum inest quadrato, aequilaterum inest quadrato, Ergo Regulare inest quadrato.

Prop. 19. Si A est in L et B est in L et C est in L, erit A (+) B+C in L. Et ita porro. Seu generaliter, cui singula insunt, etiam ex iis compositum inest. Nam erit A+B in L (per praeced.). Jam et C est in L (ex hyp.), ergo (iterum per praeced.) A+B+C est in L.

Schol. Has duas propositiones et similes converti posse patet. Nam si A+B = L, patet ex definitione existentium A esse in L et B esse in L. Item si A+B+C = L, patet A esse in L, et B esse in L, et C esse in L. Item A+B esse in L, et A+C esse in L, et B+C esse in L. Et ita porro.

Prop. 20. Si A est in M et B est in N, erit A+B in M+N. Si prius posteriori et aliud prius alteri posteriori insit, compositum ex duobus prioribus inest composito ex duobus posterioribus. Nam A est in M (ex. hyp.) et M est in M+N (per def. inexist.). Ergo (per prop. 15) A est in M+N. Similiter quia B et in N, et N est in M+N, erit B in M+N. Jam si A est in M+N et B est in M+N, etiam (per prop. 18) A+B erit in M+N.

RT est in RY et ST in SX, Ergo RT+ST seu RY est in RY+SY seu in RY.

Quadrilaterum sit A, Aequiangulum B, A+B erit Rectangulum. Parallelogrammum sit M, Regulare vero N, et M+N erit quadratum. Jam quadrilaterum inest parallelogrammo, et Aequiangulum inest regulari, Ergo Rectangulum (seu quadrilaterum aequiangulum) inest parallelogrammo regulari seu quadrato.

Schol. Haec propositio converti non potest. Et licet A sit in M, itemque A+B in M+N, non tamen continuo sequitur B esse in N; potest enim fieri ut tam A quam B sit in M, item ut aliqua quae sunt in B, sint in M, caetera vero in N. Multo minus ergo converti potest propositio sequens et similis.

Prop. 21. Si A est in M et B est in N, et C est in P, erit A+B+C in M+N+P. Et ita porro. Compositum ex contentis inest composito ex continentibus. Nam quia A est in M et B est in N, erit (per praecedentem) A+B in M+N. Jam porro C est in P, ergo (rursus per praecedentem) A+B+C est in M+N+P.

Prop. 22. Datis duobus disparatis A et B invenire tertium ab iis diversum C, quod cum ipsis componat subalternantia A+C et B+C. Hoc est, ut licet A et B alterum alteri non insit, tamen A+C et B+C alterum alteri insit. Solutio. Si velimus ut A+C insit ipsi B+C, licet A non sit in B, hoc ita praestari potest: sumatur (per postul. 1) aliquid D qualecunque, modo non insit ipsi A, et (per postul. 2) ex A+D faciamus = C, et factum erit quod quaeritur.

Nam A+C = A+A+L (ex constructione) = A+L (per axiom. 2). Similiter B+C = B+A+L (ex constructione). Jam A+L est in B+A+L (per def. 3). Ergo A+C est in B+C. Quod erat Fac.

Sunt SY et YX disparata. Sit RS+SY = YR, SY+YR erit in XY+YR.

A aequilaterum, B parallelogrammum, D aequiangulum, C aequilaterum aequiangulum seu regulare, ubi patet, licet aequilaterum et parallelogrammum

sint disparata, sic ut alterum alteri non insit, tamen aequilaterum regulare inesse parallelogrammo regulari seu quadrato. At, inquies, non succedere hanc constructionem in problemate praescriptam, in omnibus casibus. Sit v.g. A trilaterum, B quadrilaterum; non potest inveniri notio, cui simul A et B insit, adeoque nec datur B+C cui insit A+C, quia A et B sunt incompatibilia. Respondeo, constructionem nostram generalem inniti postulato 2do, quo continetur quidvis cuivis componi posse. Ita DEUS, anima, corpus, punctum, calor componunt aggregatum harum quinque rerum. Et ita quadrilaterum quoque et trilaterum componi possunt, et solvi problema. Sumatur enim D quodlibet quod in trilatero non continetur, ut circulus. Fiet A+D trilaterum et circulus quod vocetur C. Jam C+A nihil aliud est quam rursus trilaterum et circulus. Quod utique inest in C+B, hoc est in trilatero, circulo et quadrilatero. Sed si quis generalem istum calculum compositionum qualiumcunque applicare velit ad modum specialem componendi, verbi gratia si quis velit ut trilaterum et circulus et quadrilaterum non tantum componant unum aggregatum, sed ut simul utraque notio sit in eodem subjecto, videre debet an sint compatibiles. Ita rectae dissitae immotae simul quidem sumi possunt ad componendum unum aggregatum, at non ad componendum unum continuum. Prop. 23. Datis duobus disparatis A et B invenire tertium ab iis diversum C.

Solutio. Sumatur (per postulatum 2) C = A+B et factum erit quod desideratur. Nam quia A et B sunt disparata (ex Hyp.) hoc est (per def. 6) unum alteri non inest, hinc (per prop. 13) non potest esse C = A, vel C = B. Haec tria ergo sunt diversa, quemadmodum problema postulat. Porro A+C = A+A+B (per constructionem) hoc est (per Axiom. 2) = A+B. Ergo A+C = A+B. Quod erat Faciendum.

Prop. 24. Plura reperire inter se diversa, singula a singulis, quotcunque quis voluerit, ita se habentia, ut ex ipsis non possit componi novum seu a quolibet diversum.

Solutio. Sumantur quaecunque et quotcunque inter se diversa A, B, C, D (per postul. 1) et ex his (per postul. 2) A+B = M, M+C = N, N+D = P, dico A, B, M, N, P esse desiderata. Nam (ex constructione) ex A et B fit M, et porro A vel B est in M, et M in N, et N in P. Ergo (per prop. 16) quodlibet priorum in quolibet posteriorum. Jam si duo quaevis inter se componas, nil constituitur novum, nam si componas

idem secum ipso, nil fit novi, L+L = L (per axiom....). Si componas unum cum alio, compones prius cum posteriori. Ergo inexistens cum continente, ut L+N, sed L+N = N (per prop.....). Quod si tria inter se componas, ut L+N+P, compones bina L+N cum uno P. At bina L+N per se nil componunt novi, sed unum ex ipsis nempe posterius N, ut jam ostendimus; ergo idem est componere bina L+N cum uno P et componere unum N cum uno P, quae jam ostendimus nil componere novi. Ergo et bina cum uno seu terna nil componunt novi. Atque ita porro in pluribus. Q. E. F.

Schol. Suffecisset sumere continua sibi inexistentia, ut M, N, P etc. idque revera prodibit, si in constructione nostra ponatur A = Nihilo, fiet B = M. Sed solutio allata paulo latius patet, et sane haec problemata adhuc aliis modis solvi possunt; sed omnes eorum possibiles solutiones exhibere hoc est demonstrare nullos alios esse modos possibiles, pluribus adhuc propositionibus praedemonstrandis indiget. Exempli gratia, quinque res A, B, C, D, E non nisi sequentibus modis formari se habere possunt, ut nihil inde possit componi novum. Nempe primo si sit A in B et B in C et C in D et D in E, secundo si sit A+B = C et C in D et D in E. Tertio si sit A+B=C et A in D et B+D = E. Et ultimo seu tertio modo se habent hae quinque notiones: Aequiangulum A, Aequilaterum B, Regulare C, Rectangulum D, quadratum E, ex quibus nulla nova componi potest, quae non jam his coincidat, quia aequiangulum aequilaterum coincidit regulari, et Aequiangulum inest rectangulo et aequilaterum rectangulum coincidit quadrato. Hinc aequiangulum regulare idem est quod regulare et aequilaterum regulare itidem, et aequiangulum rectangulum est rectangulum et regulare rectangulum est quadratum. Schol. ad def. 3. 4. 5. 6. Inesse dicimus notionem generis in notione speciei, individua speciei in individuis generis; partem in toto, imo et indivisibile in continuo, ut punctum in linea, licet punctum pars lineae non sit. Sic notio affectionis seu praedicati inest in notione subjecti. Et in universum latissime patet haec consideratio. Dicimus etiam inexistentia his quibus insunt contineri. Nec refert hoc loco ad notionem istam generalem, quomodo ea quae insunt sese invicem aut ad continens habeant. Ita demonstrationes nostrae etiam de his locum habent, quae aliquid distributive componunt, ut omnes species simul componunt genus. Porro omnia inexistentia sufficientia ad constituendum continens, seu quibus omnia insunt quae insunt continenti, dicuntur ipsum continens componere, exempli gratia A+B componere dicentur L, si A, B, L significent rectas RS, YX, RX, nam RS+YX = RX. Eodem modo RS+XS = RX. Et tales partes, quae totum complent, vocare soleo cointegrantes, maxime si nullam partem communem habeant, quae commembra dici possent, ut RS et RX. Unde patet, idem multis modis componi posse, si ea, ex quibus componitur, rursus sint composita. Imo si resolvi possint in infinitum, variationes compositionis infinitas esse. Itaque tota synthesis et analysis fundamentis hic jaciendis innituntur. Porro si ea quae insunt homogenea sint ei quo continentur, appellantur partes, et continens appellatur totum. Si duae quaevis partes ita se habent, ut tertium reperiri possit habens partem uni et partem alteri communem, quod ex ipsis componitur est continuum. Unde patet, quomodo paulatim una consideratio ex alia exsurgat. Porro subalternantia voco, quorum unum alteri inest, ut species generi, recta RS rectae RX. Disparata, ubi secus est, ut rectae RS et YX, duae species ejusdem generis, metallum perfectum et imperfectum. Imo et diversarum divisionum ejusdem totius membra, quae aliquid commune habent, verbi gratia, si metallum dividas in perfectum et imperfectum et rursus in solubile in aqua forti et insolubile, patet metallum insolubile in aqua forti et metallum perfectum esse duo disparata, darique metallum perfectum seu fulminabile persistens in capella, et tamen solubile in aqua forti, ut argentum, et contra dari metallum imperfectum insolubile in aqua forti, ut stannum. Schol. ad Ax. 1 et 2. Cum speciosa generalis nihil aliud sit quam combinationum per notas repraesentatio atque tractatio variaeque sint combinandi leges excogitabiles, hinc fit ut varii oriantur modi computandi. Hoc loco autem nulla habetur ratio variationis quae in sola ordinis mutatione consistit, idemque nobis est AB quod BA. Deinde hoc loco nulla habetur ratio repetitionis, seu AA idem nobis est quod A. Itaque ubicunque istae leges servantur, applicari potest praesens calculus. Hoc autem patet servari in compositione notionum absolutarum, ubi nec ordinis ratio habetur nec repetitionis; sic idem est dicere calidum et lucidum ac dicere lucidum et calidum, et ignem calidum, vel lac album cum poetis dicere est pleonasmus, nec aliud est lac album quam lac, et homo rationalis seu animal rationale, quod rationale est nihil aliud est quam animal rationale. Idem est cum determinatae quaedam res rebus inexistere dicantur. Realis enim adjectio ejusdem frustra repetitur. Cum bina et bina dicuntur facere quaterna, posteriora debent esse diversa a prioribus. Si idem esset, nihil novi prodiret, et perinde esset ac si joco ex tribus ovis vellem facere sex, numerando primum 3 ova, deinde uno sublato residua 2 ac denique uno rursus sublato residuum 1. At in calculo Numerorum et magnitudinum A vel B vel aliae notae non significat certam rem, sed quamlibet ejusdem numeri partium congruarum, quilibet enim duo pedes significantur per 2, si pes sit unitas seu mensura, unde 2+2 facit novum 4, et 3 per 3 novum 9; praesupponitur enim semper diversa (licet ejusdem magnitudinis) adhiberi; at secus res se habet in certis rebus, verbi gratia lineis. Ponatur mobile describere rectam RY+YX = RYX seu P+B = L tendendo ab R ad X. Ponamus idem deinde reverti ab X versus Y ibique quiescere, utique licet bis describat YX seu B, nihil aliud producet, quam si semel descripsisset YX. Et L+B idem esse quod L seu P+B+B sive RY+YX+XY idem esse quod RY+YX. Quae cautio magni momenti est in aestimanda magnitudine eorum quae generantur ex magnitudine et motu eorum quae generantur vel describunt, cavendum enim est ne describens aut unum alterius suamet vestigia legat, unave pars describentis in alterius locum succedat, aut detrahendum id est, ne idem saepius poneretur. Patet etiam hinc componentia secundum notionem qua hic utimur, posse ex suis magnitudinibus componere magnitudinem majorem magnitudine rei quam componunt. Unde longe differt compositio rerum et magnitudinum, exempli gratia si totius rectae L vel RX duae sint partes A seu RS et B seu YX, quarum quaelibet major sit dimidia ipsius RX, ut si RX sit 5 pedum et RS 4 pedum, et YX 3 pedum, patet magnitudines partium componere magnitudinem 7 pedum, majorem quam quae est totius, et tamen rectae ipsae RS et YX nihil aliud componunt quam RX seu RS+YX = RX. Unde et adjectionem hanc realem designo hic per +, ut additio magnitudinum designatur per +. Denique etsi multum referat in reali adjectione, num de rebus actu generandis agitur, quis sit ordo, prius enim fundamenta jaciuntur, quam struatur domus, in mentali tamen formatione rerum idem prodit, quodcunque ingredientium prius consideremus, tametsi unus modus considerandi alio sit utilior, unde nec ordo hic variat rem provenientem. Suo tempore et ad ordinem erit accedendum. Nunc autem RY+YS+SX idem est quod YS+RY+SX. .. Ad prop. 24. Schol. Sunt RS et YX diversa, imo disparata, ita ut neutrum sit in altero, fiat RS+YX = RX, et erit RS+RX idem quod YX+RY. Semper enim componitur recta RX in notionibus. Sit A parallelogrammum, B aequiangulum, quae sunt disparata, C sit A+B, id erit rectangulum, eritque parallelogrammum rectangulum idem quod rectangulum aequiangulum, utrumque enim nihil aliud est quam rectangulum. Generaliter sit Maevius A, Titius B, par hominum ex utroque compositum C, erit Maevius una cum hoc pari idem quod Titius cum hoc pari, utrobique enim nihil aliud prodit quam ipsum par. Alia adhuc solutio dari potest, quae est elegantior sed specialior, si A et B habeant aliquid commune, idque datum sit, adeoque datum sit etiam quod utrique est proprium. Sit igitur ipsi A proprium M et ipsi B proprium N, et fiat M+N = D, commune autem utrique sit P. Dico A+D fore = B+D. Cum enim sit A = P+M et B = P+N, erit A+D = P+M+N et B+D etiam = P+M+N.

Philosophische Abhandlungen.

Im Folgenden sind die Abhandlungen zusammengestellt, die in den vorhergehenden Bänden keinen Platz erhielten, sowie diejenigen, welche später in den Leibnizischen Manuscripten aufgefunden wurden. Die Mehrzahl derselben ist nicht datirt, die Zeit der Abfassung der undatirten läßt sich nur annähernd bestimmen.

Das Bruchstück n. I, das vielleicht zur Zeit der Abfassung der Hypothesis physica (1671) geschrieben ist, enthält eine Vergleichung der Metaphysik des Aristoteles und des Descartes, was Leibniz von beiden entlehnt und was er eigenes hinzugesetzt hat.

Der kurze Aufsatz n. II hat ein besonderes Interesse, insofern er einen Gegenstand der philosophischen Discussionen zwischen Spinoza und Leibniz, als letzterer Spinoza im Haag sprach (November 1676), enthält. Derselbe ist nach einer spätern Überarbeitung hier abgedruckt; aus den hinzugefügten Anmerkungen ist die ursprüngliche Form ersichtlich. Es geht daraus der principielle Gegensatz zwischen Leibniz und Spinoza auf der einen Seite, so wie auch der Angriff Leibnizens auf die Cartesianische Philosophie hervor. Bisher ist nur diese Notiz über die philosophischen Unterredungen zwischen Leibniz und Spinoza aufgefunden worden; wie bereits Bd. I S.118 bemerkt ist, hat Leibniz auf einem Zettel den Inhalt einer Unterredung politischen Inhalts mit Spinoza notirt. - Höchst wahrscheinlich ist die Untersuchung in n. III. Quid sit Idea, aus dem Studium von Spinoza's Ethik, die Leibniz zu Anfang des Jahres 1678 zugeschickt erhielt, hervorgegangen; in seinem Exemplar von Spinoza's Op. posth., das auf der Königlichen Bibliothek in Hannover vorhanden ist, hat er zum zweiten Theil der Ethik Bemerkungen beigeschrieben; eine solche findet sich zu Definit. IV: explicandum ergo erat, quid sit vera idea (siehe Bd. I S.150).

In der Abhandlung n. IV mit der Aufschrift: De modo perveniendi ad veram Corporum Analysin et rerum naturalium causas, datirt Maji 1677, geht Leibniz von der Behauptung aus, daß die Erscheinungen in der Körperwelt durch Größe, Figur, Bewegung und Wahrnehmung zu erklären sind, und daß die Erklärung der Erscheinungen, die nicht wahrnehmbar sind, auf Größe, Figur und Bewegung zurückzuführen ist. Es sind dazu die genauesten Untersuchungen in Betreff der allgemeinen Eigenschaften der Körper anzustellen; alsdann wird auch die Ermittelung der Ursachen dieser Eigenschaften möglich sein.

Die Abhandlung n. V: Tentamen Anagogicum. Essay Anagogique dans la recherche des causes, steht in einer gewissen Beziehung zu den Abhandlungen, die Leibniz in den Nouvelles de la République des Lettres über die Größe der Kraft eines bewegten Körpers veröffentlichte, und ist vielleicht in den Jahren 1690-1695 verfaßt. Leibniz zeigt darin, daß die Kenntniß der Gesetze der Natur auf die Endursache der Dinge führt.

Mit der Speculation über das Wesen und die Eigenschaften der Körper hängt genau zusammen, wie Leibniz die Lehre von den Bewegungsgesetzen, seine Dynamik, begründet hat. In der Abhandlung n. VI, ohne Aufschrift, bemerkt Leibniz, daß er anfangs die Gesetze der Dynamik rein geometrisch behandelt habe, daß er aber die Überzeugung gewonnen, daß die Masse des Körpers und die Bewegung zur Erklärung der Bewegungsgesetze nicht ausreichen, daß außerdem noch metaphysische Begriffe zur Hülfe genommen werden müssen, die in der Natur des Körpers liegen. Leibniz zeigt hier den Ursprung des wichtigen Gesetzes über die Erhaltung der Kraft, daß in der Welt nicht die Größe der Bewegung, sondern die Größe der Kraft unverändert bleibt, mit welchem er zuerst die Dynamik der Cartesianer angriff.

Die Abhandlung n. VII: Demonstratio contra Atomos sumta ex Atomorum contactu, ist datirt Octobr. 23. 1690; sie ist demnach nicht lange nach Leibnizens Rückkehr (Juni 1690) von seiner großen Reise durch Deutschland und Italien abgefaßt. Während seines Aufenthalts in Italien hatte er sein großes Werk über die Dynamik geschrieben; er war auch, wie sein letzter Brief an Arnauld (à Venice ce 23. de Mars 1690, Bd. II S.134ff.) bezeugt, über sein metaphysisches System zum Abschluß gekommen. In diesem war der Begriff der Substanz und der Masse unvereinbar mit den Atomen, denn die Masse als Continuum ist ins Unendliche theilbar. Es kam Leibniz also darauf an, die Unmöglichkeit der Atome nachzuweisen, und zwar auf mathematischem Wege.

In n. VIII, ohne Überschrift, ist eine zusammenhängende Aufzählung der Hauptlehrsätze der Leibnizischen Philosophie enthalten.

In der Abhandlung n. IX: De Synthesi et Analysi universali seu arte inveniendi et judicandi handelt Leibniz zunächst über die Entstehung der definitio nominalis und der definitio realis; er zeigt, daß bei der Bildung der letzteren die Möglichkeit (possibilitas) nachgewiesen werden muß, d.h. daß es möglich ist, die Begriffe, aus welchen die Definition besteht, unter sich zu verbinden. Er setzt hinzu: Ex definitionibus realibus illae sunt perfectissimae, quae omnibus hypothesibus seu generandi modis communes sunt causamque proximam involvunt, denique ex quibus possibilitas rei immediate patet, nullo scilicet praesupposito experimento vel etiam nulla supposita demonstratione possibilitatis alterius rei, hoc est cum res resolvitur in meras notiones primitivas per se intellectas, qualem cognitionem soleo appellare adaequatam seu intuitivam; ita enim, si qua esset repugnantia, statim appareret, quia nulla amplius locum habet relatio. Mit Hülfe der Definitionen können alle Behauptungen, abgesehen von den identischen, die als Axiome anzusehen sind, bewiesen werden. Daher kann der Beweis für jede wahre Behauptung beigebracht werden, denn die Verbindung des Prädicats mit dem Subject ist entweder an sich klar, wie es in den identischen Behauptungen der Fall ist, oder sie ist zu erklären, was durch Zerlegung der Begriffe (resolutione terminorum) geschieht. Atque hoc unicum, fährt Leibniz fort, summumque est veritatis criterium, in abstractis scilicet neque ab experimento pendentibus, ut sit vel identica vel ad identicas revocabilis. Et hinc duci possunt Elementa veritatis aeternae methodusque in omnibus, modo intelligantur, aeque demonstrative procedendi ac in Geometria. - Durch Vorstehendes wird nun Leibniz auf den Unterschied zwischen Synthesis und Analysis geführt. Synthesis est, cum a principiis inchoando et ordine veritatis percurrendo progressiones quasdam deprehendimus et velut Tabulas vel etiam interdum formulas generales condimus, in quibus postea oblata inveniri possint. Analysis vero solius oblati problematis causa ad principia regreditur, perinde ac si nihil antea inventum jam a nobis vel aliis haberetur. Die Analysis ist doppelter Art: die eine ist die gemeine, die in der Algebra gebraucht wird, die andere ist bei weitem eleganter, aber wenig bekannt. Leibniz giebt zuletzt Anweisungen über die Anwendung der Analysis und Synthesis.

Das folgende Bruchstück n. X mit den Anfangsworten: Cum animadverterem plerosque omnes etc. schließt sich gewissermaßen an das Vorhergehende an, insofern Leibniz darin von den Mitteln der Beweisführung handelt. Als solches nennt er zuerst das principium contradictionis. Ferner stehen unter den immer wahren Behauptungen die identischen oben an; sie bedürfen keines Beweises; es gehören auch dahin die Behauptungen, die durch die Auflösung der Begriffe auf identische zurückgeführt werden, Leibniz nennt diese Behauptungen virtualiter identicae. Es gehören dahin die ewig wahren Behauptungen (propositiones necessariae sive aeternae veritatis). Überhaupt jede wahre Behauptung kann mit Hülfe von Axiomen (d.i. propositiones per se verae) und durch Definitionen a priori bewiesen werden; es ergiebt sich daraus, daß jede Wahrheit vielmehr irgend einen Grund hat, warum sie besteht, als daß kein Grund vorhanden ist. Das ist eins der wichtigsten und fruchtbarsten Axiome der menschlichen Erkenntniß, und wird gewöhnlich ausgedrückt: Nihil est sine ratione.

Die Abhandlung n. XI mit der Aufschrift: De rerum originatione radicali, hat Leibniz, wie er selbst bemerkt, im Jahre 1697 verfaßt. Er beweist darin, daß es außerhalb der Welt etwas giebt, welches der letzte Grund aller Dinge ist.

In der wichtigen Abhandlung n. XII mit der Aufschrift: Specimen inventorum de admirandis naturae Generalis arcanis, die unvollendet ist, zeigt Leibniz, daß aus seinen Grund legenden Principien, dem principium contradictionis und daß nichts ohne Ursache geschieht (nihil fit sine causa) folgt, daß es ein höchstes, vollkommenstes Wesen nothwendig giebt. Dieses Ens necessarium, bemerkt er weiter, est fastigium doctrinae modalis, et transitum facit ab essentiis ad existentias, a veritatibus hypotheticis ad absolutas, ab ideis ad mundum. Dieses Ens necessarium est ultima ratio rerum. Eine jede Substanz hat nun etwas Unendliches, insofern sie ihre Ursache, Gott, einschließt, nämlich irgend eine Spur von Allwissenheit und Allmacht; demnach drückt eine jede Substanz das ganze Universum aus, so wie es sich ihr nach Lage und Ansicht darstellt. Hierdurch lassen sich die Schwierigkeiten beseitigen, die sich in Betreff der Prädestination und der Ursache des Übels in der Welt ergeben. Ebenso ergiebt sich hieraus, daß kein Antrieb (impetus) eines Körpers auf einen andern übertragen wird, sondern daß jeder Körper von einer inwohnenden Kraft bewegt wird, welche nur rücksichtlich einer andern bestimmt wird (quae tantum alterius occasione sive respectu determinatur). Auch erhält aus dem Begriff der Substanz die Einheit zwischen Seele und Körper die vollständige Erklärung. Zuletzt kommt Leibniz auf die Gesetze der Körperwelt zu sprechen. Zu den bereits bestehenden Gesetzen fügt er hinzu: In jedem Körper ist eine Kraft oder Bewegung enthalten. Kein Körper ist so klein, daß er nicht in Theile, die von verschiedenen Bewegungen angetrieben werden, getheilt werden könnte, und demnach sind in jedem Körper eine unendliche Anzahl von Körpern enthalten. Jede Veränderung eines Körpers äußert ihren Einfluß auf Körper, die irgend weit entfernt sind, oder alle Körper wirken auf alle Körper und werden von allen beeinflußt.

In dem Fragment n. XIII mit der Aufschrift: De modo distinguendi phaenomena realia ab imaginariis untersucht Leibniz, welche Erscheinungen wirklich vorhanden sind (quae phaenomena sint realia). Dies ergiebt sich aus den Erscheinungen selbst, ferner aus den vorhergehenden und folgenden Erscheinungen.

In der Abhandlung n. XIV mit den Anfangsworten: Cum a sacrorum Canonum et divini humanique juris severioribus studiis etc. bemerkt Leibniz, daß in der Behandlung der Philosophie und der Theologie die rechte Methode d.i. die Methode, die in den mathematischen Wissenschaften angewandt wird, fehle. Es sind dadurch in den Gemüthern der Menschen gefährliche, von der rechten Philosophie abführende Meinungen entstanden, von denen die Wissenschaft gereinigt werden muß. Er erwähnt, daß Alles in der Körperwelt durch Größe, Gestalt und Bewegung zu erklären ist. Die Wissenschaft von der Größe und Gestalt ist vortrefflich ausgebaut worden; dagegen ist die Wissenschaft von der Bewegung wegen Vernachlässigung der metaphysischen Grundlage, auf welcher sie aufzubauen ist, noch mangelhaft. Die wahre Erkenntniß von der Natur des Körpers ist noch nicht vorhanden. Bisher meinten die Philosophen, das Wesen des Körpers bestände in der Ausdehnung, Gassendi und andere haben die Undurchdringlichkeit (Masse) hinzugefügt, ohne jedoch die vorhandenen Schwierigkeiten vollständig zu beseitigen. Sie werden gehoben, wenn dem Begriff der Ausdehnung die »actio« hinzugefügt und als Definition aufgestellt wird: Corpus est Agens extensum.

Von der Abhandlung n. XV ist das Originalmanuscript unter den Leibnizischen Papieren nicht mehr vorhanden; es hat Kortholt vorgelegen, der diese Abhandlung in Leibnitii Epist. ad diversos, vol. I. p.189 herausgegeben hat. Derselbe hat sie datirt aus dem Jahre 1710, vielleicht wegen des Briefes ähnlichen Inhalts an Wagner vom 4. Juni 1710. Leibniz führt darin aus, daß zu der Materie, woraus der Körper besteht, etwas hinzuzufügen ist, was als principium perceptionis d.h. der innern Thätigkeit als der Ursprung der Bewegung oder der äußern Thätigkeit zu betrachten ist. Dieses Etwas wird mit einem Wort als Seele bezeichnet. Dadurch wird der Begriff der Substanz vollständig. Demnach muß dem Thier eine Seele zugestanden werden.

In dem populär gehaltenen Aufsatz n. XVI mit den Anfangsworten: Il y a deux sectes de Naturalistes etc. zeigt Leibniz, daß die beiden Secten der modernen Naturalisten, von denen die eine den Lehren Epicur's, die andere den der Stoiker folgt, für die Frömmigkeit Gefahr bringend sind; dagegen sind die Lehren des Sokrates und Plato's mit der Frömmigkeit nicht in Widerstreit. Er erläutert dieses an dem Dialog Plato's über die Unsterblichkeit der Seele.

Die Abhandlung n. XVII mit der Aufschrift: Antibarbarus Physicus pro Philosophia reali contra renovationes qualitatum scholasticarum et intelligentiarum chimaericarum, ist offenbar gegen die Gravitationslehre Newton's gerichtet und nach Newton's berühmtem Werk: Principia mathematica philosophiae naturalis, das im Jahre 1687 erschien, verfaßt. Leibniz hatte die Überzeugung, daß es in den Körpern keine Kraft giebt, die in die Ferne wirkt; die in den Körpern vorhandenen Kräfte können nur durch verbindende, dazwischen liegende Körper auf fern liegende Körper wirken. Leibniz behauptet: Omnia in natura fieri mechanice, sed Metaphysica esse principia mechanismi, et constitutas Motuum Naturaeque Leges non absoluta quidem necessitate, sed voluntate causae sapientis, non ex meo arbitrio, sed ex convenientia rerum; adjungendam vim massae, sed non aliam quam per impetum impressum exercetur; pro Archaeis, intelligentiis vel facultatibus plasticis, instinctibus, antisympathiis vel similibus qualitatibus ad explicandas operationes praesertim in organicis corporibus plantarum et animalium sufficere mechanismi divini artificium, perceptione tantum et appetitu Animae reservatis, omni sublato physico corporis in animam vel animae in corpus influxu ....... Ita adesse ubique organismum, nullibi chaos indignum sapiente, et omnia corpora organica Naturae animata esse, sed nec animas nec corpora leges mutare invicem. Omnia in corporibus fieri per figuras et motus, omnia in animabus per perceptiones et appetitus; in his esse regnum causarum finalium, in illis regnum causarum efficientium, quae duo a se invicem independentia, sed tamen harmonica sint; Deum (finem et efficientem rerum communem) finibus suis omnia per media spontanea accommodare; animasque et corpora suas leges infallibiliter prosequentes consentire tamen per Harmoniam a Deo praestabilitam, sine physico inter se influxu, et in his novam ac pulcherrimam Divinitatis comprobationem latere.