Specimen Calculi universalis
(1) Propositio Universalis affirmativa hoc loco a nobis sic exprimetur:
a est b
sive
(Omnis) homo est animal.
Itaque semper intelligemus praefixum signum universale. Propositiones negativas, et particulares et hypotheticas nunc non attingemus.
(2) Propositio per se vera.
ab est a
sive
(Omne) animal rationale est animal. ab est b
sive
(Omne) animal rationale est rationale
(sive omittendo b)
a est a
sive
(Omne) animal est animal.
(3) Consequentia per se vera.
Si a est b et b est c, Ergo a est c
sive
Si (omnis) homo est animal, et (omne) animal est substantia, Ergo (omnis)
homo est substantia.
(4) Hinc sequitur :
Si a est bd et b est c; Ergo a est c.
(Omn.) homo est animal rationale. (Omne) animal est substantia. Ergo
(omnis) homo est substantia.
Hoc ita demonstratur:
Si a est bd ex hypothesi, et bd est b per num. 2. Ergo a est b per num. 3. Rursus si a est b (ut probavimus) et b est c ex hypothesi, Ergo a est c per num. 3.
(5) Propositio vera est, quae ex positis et per se veris per consequentias oritur.
Nota: etsi propositiones quaedam pro hominum arbitrio assumantur, ut definitiones terminorum, inde tamen oritur veritas minime arbitraria, saltem enim absolute verum, ex positis istis definitionibus oriri conclusiones, sive quod idem est, connexio inter conclusiones sive theoremata et definitiones sive hypotheses arbitrarias est absolute vera. Quemadmodum in numeris apparet, quorum signa et periodi decadicae hominum voluntate constituta sunt, calculi inde deducti significant absolutas veritates, nempe connexionem inter characteres assumtos et formulas inde deductas, quibus et rerum connexiones (quae characteribus quibuscunque assumtis eaedem manent) significantur. Utile autem ad scientias ita assumi characteres, ut ex paucis assumtis multa facile duci possint, quod fit si simplicissimis cogitandi elementis characteres assignentur. (6) Si quid substitui ubique salva veritate potest in locum alterius, alterum vicissim ubique substitui potest in locum ipsius, verbi gratia quia ubique in locum figurae planae triangulae substitui potest Trilaterum, etiam contra ubique in locum trilaterae poterit substitui triangulum. Nam sint duo a et b, et possit b ubique substitui in locum ipsius a, ajo vicissim a ubique substitui posse in locum ipsius b. Quod sic ostendo: Sit propositio b est c, vel d est b, ajo in his substitui posse a. Nam ponamus non posse substitui seu non posse dici a est c, et d est a, ergo falsae erunt hae propositiones: Ergo saltem verae erunt hae duae propositiones: falsum est a esse c, et falsum est d esse a. Jam pro a substitui potest b ex hypothesi, ergo verae etiam erunt hae duae propositiones: falsum est b esse c, et falsum est d esse b, quod est contra hypothesin, has enim assumsimus ut veras. Demonstratum est ergo propositum. Idem aliter demonstrari potest.
(7) Eadem sunt quorum unum in alterius locum substitui potest, salva veritate, ut Triangulum et Trilaterum, Quadrangulum et Quadrilaterum.
(8) Omnes propositiones (universales affirmativae, de quibus solis hoc loco agimus) in quas ingreditur litera data a, possunt reduci ad has formas:
a est d
ab est e
c est a
quamvis enumerari videantur posse plures,
a est d
a est fg, reducitur ad hanc: a est d, posito fg esse d.
a est fhb, reducitur ad hanc: a est d, posito fhb esse d, seu hb esse g et fg esse d
etc. ab est e
ab est ik, reducitur ad hanc: ab est e, posito ik esse e
etc.
alm est e, reducitur ad hanc: ab est e, posito b esse lm. Nam b est lm, tunc ab erit alm.
alm est ik, reducitur ad hanc: ab est e, nam ik est e, et ab est alm
etc.
c est a
np est a, reducitur ad hanc: c est a, posito c esse np
etc.
q est ab (abc, etc.) reducitur ad hanc: q est a, quia ab est a.
rs est ab (abc, etc.) reducitur ad hanc: q est a, posito rs esse q
etc.
a est a, reducitur ad hanc: d est a, posito d esse a, vel ad hanc: a est c, posito a esse c.
a est at (athl, etc.) reducitur ad hanc: a est d, posito at esse d, vel ad hanc a est a, quia at est a.
ab est abc est aavawx etc. a az amô (etc.) hae omnes ex prioribus dupliciter reduci possunt, retinendo a vel in subjecto, vel in praedicato. etc.
Omnes tamen ad tres supradictas reducuntur, modo notemus pro df vel dfg vel bc vel cn, ab, abc etc. posse poni literam unam huic plurium conjunctioni aequalem, uti pro termino: animal rationale, compendii causa ponimus unum terminum: homo, et pro composito ab vel abc in praedicato reperto posse substitui simplicem terminum a. Nam si dicas: c est ab, seu homo est animal rationale, utique etiam dicere potes c est a, seu homo est animal. Secus est tamen in subjecto, nam etsi dicam: omne animal rationale est homo, non tamen possum dicere: omne animal est homo. Itaque hanc propositionem: ab est c non possum reducere ad simpliciorem, in quam etiam ingrediatur a. Caeteras possum, ut ex dictis patet.
(9) Si a est f, et f est a, erunt a et f idem, seu alterum substitui poterit in locum alterius. Quod sic demonstro: Ostendam primum semper f posse substitui in locum ipsius a. Nimirum per praecedentem omnes propositiones quas ingreditur a, reduci possunt ad tres, scilicet a est d, et ab est e, et c est a, unde ostendam, has tres substitui posse: f est d, et fb est e, et c est f. Nimirum quia f est a et a est d, etiam f erit d. Item quia f est a, etiam fb erit ab (per demonstrata in additionibus); jam ab est e, ergo fb erit e. Denique quia c est a et a est f, etiam c erit f. Eodem autem modo quo ostendimus, f posse substitui in locum a, etiam ostendetur a, posse substitui in locum f, tum quia a an f eligeremus in arbitrio fuit, tum et quia supra num. 6 ostendimus reciprocari substitutionem.
Ens est quod termino aliquo ut a vel b vel ab significatur.
Im Folgenden nimmt das Manuscript mehr den Charakter einer Studie an.
Ad specimen Calculi universalis addenda.
Ut calculi hujus natura intelligatur, notandum est, quicquid a nobis enuntiatur in quibusdam literis, quas pro arbitrio assumsimus, idem intelligendum enuntiari posse eodem modo in aliis quibusvis assumtis. Ut cum dico propositionem hanc: ab est a, semper esse veram, intelligo non tantum hoc exemplum: animal rationale est animal, esse verum, ponendo animal significari per a, et rationale per b, sed intelligo etiam hoc exemplum: animal rationale est rationale, esse verum, ponendo rationale significari per a, et animal per b. Et idem in quolibet alio exemplo procedere, ut corpus organicum est organicum, ac proinde etiam pro ab est a dici poterit: bd est b.
Notandum etiam, nihil referre sive dicas ab sive dicas ba, nihil enim refert, sive dicas animal rationale sive rationale animal.
Repetitio alicujus literae in eodem termino inutilis est et sufficit eam retineri semel, exempli causa aa seu homo homo.
Hinc si a sit bc, et b sit d, et c etiam sit d, inutile est dici a est dd, sufficit a esse d; exempli causa: Homo est animal rationale. Omne animal est sentiens. Item Omne rationale est sentiens; inutile tamen est dici, homo est sentiens sentiens, nam hoc nihil aliud est dicere quam dicere: homo est sentiens. Si quis tamen dicere velit, hominem ex duplici capite esse sentientem, id alio modo ipsi erit exprimendum, secundum characteristicae nostrae regulas. Diversa praedicata in unum conjungi possunt, ut si constet a esse b, itemque aliunde constet a esse c, poterit dici a esse bc, ut si homo est animal, et si homo est rationale, erit homo animal rationale.
Vicissim unum praedicatum compositum in plura divelli potest. Ut a est bc, ergo a est b et a est c, verbi gratia homo est animal rationale, ergo homo est animal et homo est rationale.
Haec divisio cum sit per se nota, poterit ex ea demonstrari compositio. Pone enim hominem esse animal, et hominem esse rationale, nec tamen hominem esse animal rationale. Ergo haec propositio erit falsa: homo est animal rationale. Quae falsitas non potest probari nisi tribus modis, uno ut ostendendo non esse animal, quod est contra hypothesin, altero non esse rationale, quod est etiam contra hypothesin, tertio non esse simul utrumque, seu haec duo esse incompatibilia, quod est etiam contra hypothesin, nam simul et animal et rationale esse posuimus.
In subjecto procedit compositio, non procedit divisio. Nam si b est a, et c est a, etiam bc erit a. Si omne animal vivit, et omne rationale vivit, profecto etiam omne animal rationale vivit. Quod sic demonstratur:
bc est b, b est a, ergo bc est a
bc est c, c est a, ergo bc est a.
Miscendo etiam varie compositiones et divisiones terminorum orientur multae consequentiae hactenus Logicis intactae, praesertim si negativas, praeterea et particulares propositiones adhibeamus. Si b est c, tunc ab erit ac, seu si homo est animal, sequitur hominem sapientem esse animal sapiens. Quod ita demonstratur:
ab est b, b est c, ergo ab est c, per regulam consequentiarum primam
ab est c, ab est a, ergo ab est ac, per demonstrata supra.
Retrorsum autem colligi non potest: ab est ac, ergo b est c. Nam potest fieri ut a sit ad, et bd sit c. Sed si a et c nihil habeant commune, valet consequentia: ab est ac. Nobis autem hoc loco generales tantum consequentias persequi propositum est. Postea accedemus ad specialiores, quae tamen majoris momenti sunt quam generales, nec hactenus pro dignitate tactae. Nam tota analysis nititur consequentiis quibusdam quae videntur peccare in formam, non peccant tamen ob generalem quandam terminorum habitudinem semper observatam.
Si a est b, et a est d, et d est b, erit ad aequ. bd. Hoc demonstratur ex superiori: a est b, a est c, d est b, d est c, ergo ad est bc, ponendo c esse d. Verum ex praecedenti patet ad idem concludendum non esse opus tot suppositionibus, et sufficere hanc: a est b. Hinc enim sequitur: ad est bd.
Si a est b, et d est c, tunc ad erit bc. Hoc est praeclarum theorema, quod demonstratur hoc modo:
a est b, ergo ad est bd per priora,
d est c, ergo bd est bc rursus per priora,
ad est bd, et bd est bc, ergo ad est bc. Quod erat demonstrandum.
Generaliter si sint quotcunque propositiones: a est b, c est d, e est f, inde fieri poterit una: ace est bdf, per additionem illinc subjectorum, hinc praedicatorum.
Generaliter si sit propositio m est bdf, hinc fieri poterunt tres: m est b, m est d, m est f.
Omnia haec facile demonstrantur hoc uno tantum posito, subjectum esse ut continens, praedicatum ut contentum simultaneum seu conjunctivum, vel contra: subjectum esse ut contentum, praedicatum ut continens alternativum seu disjunctivum.
Vorstehendes hat Leibniz am Rande des Manuscripts in folgende Sätze zusammengefaßt:
Terminus est a . b . ab . bcd . ut homo . animal . animal rationale. rationale mortale visibile.
Propositionem Universalem affirmativam sic designo: a est b, seu (omnis) homo est animal. Semper enim signum universalitatis intelligi volo, ubi a subjectum, et b praedicatum, est copula.
Postulatum: permissum esto supponere literam uni literae vel pluribus simul aequivalere, ut d aequivalere ipsi a et alterum in alterius locum substitui posse, vel c aequivalere termino ab, verbi gratia: Homo idem quod animal rationale. Hoc intelligo, si nihil his suppositionibus contrarium jam suppositum sit.
Propositiones per se verae:
(1) a est a. Animal est animal.
(2) ab est a. Animal rationale est animal.
(3) a non est non-a. Animal non est non animal.
(4) non-a non est a. Non animal non est animal.
(5) qui non est a, est non-a. Qui non est animal, est non-animal.
(6) qui non est non-a, est a. Qui non est non-animal, est animal. Ex his duci possunt plures.
Consequentia per se vera: a est b, et b est c, ergo a est c. Deus est sapiens, sapiens est justus, ergo Deus est justus. Haec catena longius continuari potest, v.g. Deus est sapiens, sapiens est justus, justus est severus, ergo Deus est severus.
Principia calculi. 1) Quicquid conclusum est in literis quibusdam indefinitis, idem intelligi debet conclusum in aliis quibuscunque easdem conditiones habentibus, ut quia verum est ab est a, etiam verum erit bc est b, imo et bcd est bc. Nam pro bc substituendo e (per postulatum) idem est ac si dixissemus: ed est e.
2) Transpositio literarum in eodem termino nihil mutat, ut ab coincidit cum ba, seu animal rationale, et rationale animal.
3) Repetitio ejusdam literae in eodem termino est inutilis, ut b est aa, vel bb est a; homo est animal animal, vel homo homo est animal. Sufficit enim dici: a est b, seu homo est animal.
4) Ex quotcunque propositionibus fieri potest una additis omnibus subjectis in unum subjectum et omnibus praedicatis in unum praedicatum. a est b, et c est d, et e est f, inde fiet ace est bdf. Ut Deus est omnipotens. Homo est corpore praeditus. Crucifixus est patiens. Ergo Deus homo crucifixus est omnipotens corpore praeditus patiens. Nec refert, quod interdum quae conjunguntur hoc modo, incompatibilia sunt, ut circulus est null-angulum. Quadratum est quadrangulum, ergo circulus-quadratum est null-angulum quadrangulum. Nam haec propositio vera est ex hypothesi impossibili. Utilis est haec observatio praesertim in catenis longius productis, verbi gratia hoc modo: Deus est sapiens. Deus est omnipotens, justus omnipotens punit malos. Deus non punit aliquos malos in hac vita. Qui punit, et non punit in hac vita, punit in alia vita. Ergo Deus punit in alia vita.
5) Ex quacunque propositione cujus praedicatum est ex pluribus terminis compositum, possunt fieri plures, quarum quaelibet idem quod ante habet subjectum, sed loco praedicati habet aliquam prioris praedicati partem. a est bcd, ergo a est b, et a est c, et a est d. Veluti: homo est rationalis mortalis visibilis. Ergo homo est rationalis. Homo est mortalis. Homo est visibilis.
Si a est b et b est a, tunc a et b dicuntur esse idem. Ut omnis pius est felix. Et omnis felix est pius. Ergo idem est felix et pius.
Hinc facile demonstratur alterum in alterius locum ubique substitui posse salva veritate, seu si a est b et b est a, et b est c, vel d est a, etiam a esse c vel d esse b. Ut omnis pius est felix, et omnis felix est pius. Et omnis felix est electus. Et omnis martyr est pius. Ergo omnis pius est electus, et omnis martyr est felix. (Nota, per pium intelligo hic perseverantem seu in gratia morientem.)
Diversa sunt quae non sunt eadem, ut homo et animal, quamvis enim omnis homo sit animal, non tamen omne animal est homo.
Disparata sunt a et b, si a non est b, et b non est a, ut homo et lapis. Nam homo non est lapis. Et lapis non est homo. Itaque omnia disparata sunt diversa, non contra.
Si a est m, et b est m, atque a et b sunt idem, tunc m dicitur esse unum. Ut Octavianus est Caesar, et Augustus est Caesar. Sed quia Octavianus et Augustus idem est, hinc quidem non nisi unus Caesar numerabitur.
Si a est m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dicuntur esse duo et b est m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tria plura m et c est m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quatuor
et d est m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . modo a . b . c . d sint disparata.
Si assumsimus terminum aliquem simplicem velut composito alicui aequivalentem, seu eandem rem exprimentem, terminus simplex erit definitum, terminus compositus erit definitio. Hoc definitum charactere expressum subinde vocabimus rei Nomen. Ut si pro ab animal rationale dicamus, nos compendii causa dicere imposterum velle c seu homo, tunc c seu vox: homo, erit nomen ejus rei cujus definitio est, animal rationale seu vox: homo erit nomen hominis.
Si in propositione universali affirmativa subjectum sit res, praedicatum autem non sit res nec definitio, sed alius quidam terminus, tunc is terminus dicetur esse Attributum. Ita DEi cujus nomen est DEus, definitio est: Ens perfectissimum, attributa: misericors, omnipotens, creator, Ens, Ens a se. Itaque si c sit res et ab definitio, et c sit d (et d non sit terminus ab) tunc d dicetur attributum ipsius c.
Si in propositione universali affirmativa praedicatum sit res, subjectum vero non sit res nec rei definitio, sed alius terminus, is terminus dicetur proprium. Exempli causa: Omnis homo est animal, itaque homo est proprium animalis. Nam non nisi animal esse potest homo, quamvis non omne animal sit homo, neque enim definimus hoc loco proprium in quarto modo, sed proprium in genere, seu quod soli competit. Itaque si c est res, ab rei definitio, et datur propositio (universalis affirmativa) d est c, erit d proprium ipsius c, modo per terminum d non intelligatur terminus c vel ab.
Genus est attributum commune, ut terminorum d et e genus est a, posito d esse ab et e esse ac, seu si d est a, sed non tamen a est d.
Genus proprium est attributum commune pluribus sed solis, ut animal hominis et bruti, seu si d est a et e est a et si quid est non-d et non-e est non-a, erit a genus proprium ipsarum specierum d et e.
Accidens est subjectum pariter in propositione particulari affirmativa et negativa ejusdem subjecti. Ut: quidam homo est doctus et quidam homo non est doctus; ergo doctus est accidens hominis. Si quoddam a est b et quoddam a non est b, tunc b est accidens ipsius a.
Attributum proprium est scilicet quod simul et attributum et proprium est, nempe si rei c (ut hominis) definitio est ab (animal rationale) danturque duae propositiones, una c est d (homo est rationale mortale) cujus causa d est attributum, altera d est c (rationale mortale est homo) cujus causa d est proprium, patet d esse attributum proprium. Patet etiam nomen, et definitionem, et attributum proprium esse terminos aequivalentes, seu eandem rem exprimentes. Et hoc est quod vulgo dicunt proprium in quarto modo seu proprietatem reciprocam.
Substantivum1 est (nomen) quod includit (nomen) Ens vel res; Adjectivum quod non includit. Ita animal est substantivum, seu idem quod ens animale. Rationale est adjectivum, fit enim demum substantivum, si adjicias Ens, dicendo Ens rationale, vel per compendium una voce (si jocari licet) Rational. Ut ex termino: Ens animale animal.
Genus est substantivum quod est plurium attributum commune, quae dicuntur species.
Attributum omnis differentia potestesse specifica cum aliogenere. Differentia specifica est adjectivum quod cum genere constituit terminum speciei aequivalentem (an potius speciei definitionem?) Differentia generica est quae est differentia specifica generis.
Definitio est terminus compositus substantivus speciei aequivalens.
Proprium est subjectum adjectivum propositionis universalis cujus praedicatum est substantivum.
Accidens est praedicatum adjectivum de subjecto substantivo tantum in propositione affirmativa particulari.
- 1In Bezug auf das Folgende befindet sich am Rande des Manuscripts die Bemerkung: Hae definitiones usui scholae sunt accommodatae, sed in characteribus necesse non est differentiam nominis substantivi atque adjectivi apparere, neque illa vero usum habet ullum.