Beilage

En Tibi, quae super problemate isto, quod ab illustri Barone de la Devanciere praecipuis totius Europae Cartesianis propositum solutionem suam hactenus invenire non potuit, ultimo loco conscribere volui. Quae quidem serius aliquanto mitto, tum quod prudentissimo monito isti Tuo: sat cito, si sat bene, parere debui; tum quod per varias occupationes, quibus aliquot abhinc hebdomadis distentus fui, meditationibus istis, ita ut opus erat, vacare non potui; tum quia pro virili providere volui, ne summis non Galliae solum, sed totius terrarum orbis Mathematicis, ad quos provocavit, quorumque arbitrio rem omnem commisit illustris Dn. Baro, ludibrium debuisse videri possim. Rem omnem a primo capite usque ad extremum percurro, quaeque dico, ea aut nota sunt et apud omnes in confesso, aut ex notis et confessis demonstrata, ita ut vereri non subeat, ne in iis, quae hoc scripto continentur, causa cadam. Sed ad rem. Ad ea, quae hactenus scripsi, multa movit Vir illustris, in quibus omnibus non repugnavi, neque adhuc repugno, praeterquam in his duobus: Invenire numerum cubum, qui latere suo minutus relinquat numerum quadratum; si x3-x statuatur = aa, seu x3-x-aa = 0, aequationem istam nullo casu esse reducibilem, adeoque radicem x nullo numero explicabilem1[L]). Deinde ut signum algebraicum ad simplicissimos suos terminos reductum, cujusmodi est (2bbc-cc)/(2bb-2c), de quo tum lis erat, numerum quadratum significare possit, necesse esse2[L]) ut ejus tam numerator, quam denominator significare possit numerum quadratum. In quibus quidem duobus pronunciatis acerrime sese mihi opposuit Vir illustris, et quandoquidem lis illa inter nos componi non potuit, tandem ad doctos provocavit. Quod ad prius attinet, quoniam problemate isto ad solutionem problematis primarii non utor, potueramus ista disputatione supersedere. Itaque de eo alias. Posterius nisi mihi in ipso limine concedatur, nihil demonstrare possum. Demonstravi illud tertia vice in superioribus scriptis meis, et cum illustris Antagonista, licet nullum in demonstrationibus istis meis vitium notasset, in negatione tamen sua persisteret, ter ad ipsam experientiam provocavi. Dicit scilicet: dans toute la fraction quarrée le denominateur estant quarré, le numerateur le doit estre aussi, et contra3[L]). Quod quidem pronunciatum est verissimum, demonstratuque facillimum. Dixi itaque, quod si pronunciatum istud suum demonstrare possit Vir illustris, nisi ea, quae de numero fracto quadrato in medium attuleram, concedat omnia, victas me illico daturum manus. Et ut videat Vir illustris, quam immerito sese mihi hac in parte opposuerit, quamque meum assertum vel plane idem sit cum suo, vel saltem ex suo isto sequatur, ego in omni hac demonstratione mea suis ipsius verbis semper utar4[L]).

Problema.

Invenire triangulum rectangulum, cujus area sit numerus quadratus, et latera omnia numeri rationales.

In quo solvendo ita progredior:

Problema I.

Invenire triangulum rectangulum, cujus latera omnia sint numeri rationales.

Quoniam in triangulo rectangulo ABC quadrata a lateribus AB, BC aequantur quadrato hypotenusae AC, problema huc redit: Invenire duos numeros quadratos, quorum summa sit numerus quadratus: vel etiam, Invenire duos numeros quadratos, quorum differentia sit numerus quadratus. Pono itaque pro radice majoris numeri quadrati x+y, pro radice minoris x-y; quadratum minoris xx-2xy+yy subtractum a quadrato majoris xx+2xy+yy relinquit 4xy numerum quadratum ex hypothesi. Esto radix ejus z, fiatque uti 4x ad z ita z ad zz/4x, erit y=zz/4x. Unde si pro majore numero ponatur x+zz/4x, pro minore autem x-zz/4x, quadratumque minoris xx-1/2zz+z4/16xx subtrahatur a quadrato majoris xx+1/2zz+z4/16xx, relinquetur zz numerus quadratus. Vel contra, si pro majore numero sumatur x+zz/4x et pro minore z, quadratumque minoris zz subtrahatur a quadrato majoris xx+1/2zz+z4/16xx, residuum xx-1/2zz+z4/16xx erit numerus quadratus, cujus scilicet radix est x-zz/4x. Patet autem, numerum 2x majorem esse debere numero z, quia alioqui x-zz/4x seu (4x-zz)/4x nullus esset. Oportet enim quadratum ex z subduci a quadrato ex 2x. Ex. gr. sit x = 4 et z = 4, eritque zz/4x = 1, adeoque x+zz/4x = 5, x-zz/4x = 3. Unde si a quadrato ex 5 nempe 25 auferatur quadratum ex 3 nempe 9, relinquetur quadratum ex 4 nempe 16. Vel etiam, si a quadrato 25 auferatur quadratum 9, reliquetur quadratum 16, cujus radix est 4. Eodem modo si statuatur x = 9, z = 12, erit zz/4x = 4, adeoque x+zz/4x-x = 13 et x-zz/4x = 5. Unde si a quadrato ex 13 nempe 169 auferatur quadratum ex 5 nempe 25, relinquetur quadratum ex 12 nempe 144. Vel etiam, si a quadrato 169 auferatur quadratum 144, relinquetur quadratum 25. Et sic de ceteris. Ut itaque in triangulo rectangulo ABC latera omnia sint numeri rationales, hypotenusa AC semper debet esse aequalis x+zz/4x; reliquorum autem laterum circa rectum angulum AB, BC alterum aequale x-zz/4x, alterum vero aequale z.

Corollarium I.

Quicunque numerus exprimitur per z, ille etiam exprimi potest per x-zz/4x, et contra: quicunque numerus exprimitur per x-zz/4x, ille etiam exprimi potest per z. Ut in exemplo priori, in quo z = 4, et x-zz/4x = 3, potest etiam vice versa z statui = 3, et x-zz/4x=4, nempe si ponas x = 41/2 seu = 9/2. Erit enim zz/4x = 1/2; unde x+zz/4x = 10/2 seu 5, et x-zz/4x = 8/2 seu 4. Eodem modo in posteriori exemplo, in quo z = 12 et x-zz/4x = 5, potest etiam vice versa z statui = 5, et x-zz/4x = 12, nempe si ponas x = 121/2 seu -25/2. Erit enim zz/4x = 1/2; unde x+zz/4x = 26/2 seu 13, et x-zz/4x = 24/2 seu 12.

Scholium.

Praxis haec est: Sit numerus z, qui ante erat 4, commutandus in 3, et x-zz/4x, qui ante erat 3, commutandus in 4. Quod ita fieri potest: x+zz/4x = 5 ; zz/4x = 4 ex hypothesi. Ergo additis x+zz/4x = 5 et x-zz/4x = 4, erit summa 2x = 9, et x = 9/2. Subtracto autem x-zz/4x = 4 ab x+zz/4x = 5, differentia zz/2x = 1 et zz/4x = 1/2. Unde x+zz/4x = 5; x-zz/4x = 4, et z = 3. Eodem modo procedi potest in posteriori, et in omnibus reliquis exemplis.

Corollarium II.

Ex quo manifestum est, quaecunque quantitates ad se invicem non sunt ut x+zz/4x ad x-zz/4x, illas etiam ad se invicem non esse ut x+zz/4x ad z: quippe cum omnis numerus denotatus per x-zz/4x exprimi etiam possit per z, et contra, per corollar. I.

Corollarium III.

Ergo quaecunque quantitates ad se invicem non sunt uti x+zz/4x ad x-zz/4x, illarum quadrata a se invicem subtracta non relinquunt quadratum rationale seu numerum quadratum. Ut enim unum quadratum ab altero subtractum relinquat numerum quadratum, necesse est ut radix unius sit ad radicem alterius ut x+zz/4x ad x-zz/4x, vel etiam ut x+zz/4x ad z, per probl. I. Quaecunque autem quantitates non sunt ad se invicem ut x+zz/4x ad x-zz/4x, illae etiam non sunt ad se invicem ut x+zz/4x ad z, per coroll. II. Patet itaque propositum.

Problema II.

Invenire triangulum rectangulum, cujus area sit numerus quadratus.

Omnis numerus quadratus oritur vel ex multiplicatione ejusdem numeri, quae radix dicitur, per semet ipsum, aut ex multiplicatione duorum, inter quos radix est media proportionalis. Ex. gr. numerus quadratus 36 oritur ex multiplicatione vel suae radicis 6 per semet ipsam, vel ex multiplicatione 1 per 36, vel 2 per 18, vel 3 per 12, vel 4 per 9, et, si numeros fractos adhibere velis, per infinitos alios. Est enim uti 1 ad 6 ita 6 ad 36, uti 2 ad 6 ita 6 ad 18, uti 3 ad 6 ita 6 ad 12, uti 4 ad 6 ita 6 ad 9, et sic de ceteris. Ergo si ipsam radicem exprimas per u, et unum extremorum proportionalium per u/a, alterum vero per au, ratio generalis, quae esse debet inter duos numeros, ex quorum multiplicatione produci possit numerus quadratus, erit ut u/a ad au, seu multiplicando utrinque per a et dividendo per u, ut 1 ad aa, seu ut 1 ad quemcunque numerum quadratum. Itaque cum uniuscujusque trianguli rectanguli area aequalis sit producto ex semisse unius lateris circa rectum angulum in alterum latus, ut area sit numerus quadratus, necesse est ut unum latus circa rectum angulum sit ad alterum uti 2 ad aa, vel etiam uti 1 ad 2aa. His ita investigatis sequitur ipsum primarium.

Problema III.

Investigare an in triangulo rectangulo latera simul possint esse numeri rationales, et area numerus quadratus.

Ut latera omnia trianguli rectanguli sint numeri rationales, necesse est ut unum latus circa rectum angulum sit ad alterum ut z ad x-zz/4x per problema I. Ut autem area sit numerus quadratus, necesse est ut unum istorum laterum sit ad alterum uti 2 ad aa, vel etiam uti 1 ad 2aa, per probl. II. Esto jam ex hypothesi

2 ---- aa ---- z,

4xx-zz/2x = aaz,

4xx-zz/2xz = aa.

Ex quo patet, cum aa debeat esse quadratum rationale, etiam 4xx-zz/2xz ipsi aa aequale debere esse quadratum rationale. Quod fieri non posse ita demonstrare aggredior. Ut fractio 4xx-zz/2xz esse possit numerus quadratus5[L]), requiritur, ut, si denominator 2xz sit numerus quadratus, numerator 4xx-zz etiam talis existat (quod est ipsum Viri illustris pronunciatum). Sed si denominator 2xz est numerus quadratus, numerator 4xx-zz numerus quadratus esse non potest. Ergo fractio 4xx-zz/2xz numerus quadratus esse non potest6[L]). Minorem probo: Sit ex hypothesi 2xz numerus quadratus, cujus radix sit t, eritque faciendo, ut 2x ad t ita t ad tt/2x, z = tt/2x. Si ergo 4xx-zz etiam potest esse numerus quadratus, erit substituendo in locum zz, t4/4xx ipsi aequali, 4xx-t4/4xx etiam numerus quadratus, adeoque multiplicando per 4xx numerum quadratum 16x4-t4 etiam aequalis numero quadrato. Unde quaestio huc redit, cum 16x4 et t4 sint quadrato-quadrata, an duo dari possint numeri quadrato-quadrati,

quorum differentia sit numerus quadratus. Qui si dari possunt, problema est possibile; sin minus, impossible. Antequam autem illud inquiram, hoc tantum ostendam, ad eandem, quam dixi, quaestionem omnem recidere difficultatem, si dicas, ut area trianguli rectanguli sit numerus quadratus, necesse esse, ut unum latus circa rectum angulum sit ad alterum ut 1 ad 2aa. Esto enim ex hypothesi

2 ---- 2aa - z, 4xx-zz/4x,

4xx-zz/4x = 2aaz,

4xx-zz/8xz = aa.

Quoniam itaque 4xx-zz/8xz numerus esse debet quadratus, necesse est ut si denominator 8xz sit numerus quadratus7[L]), numerator 4xx-zz talis etiam existat (est ipsum Viri illustris pronunciatum). At hoc fieri non potest. Ergo. Minorem probo: Sit ex hypothesi 8xz numerus quadratus, ejusque radix t, eritque faciendo uti 8x ad t ita t ad tt/8x, z=tt/8x. Si ergo 4xx-zz esse potest numerus quadratus, erit substituendo in locum ipsius zz, t4/64xx ipsi aequali, 4xx-t4/64xx quoque numerus quadratus, et multiplicando per 64xx, 256x4-t4 etiam numerus quadratus. Quaestio itaque, uti dixi, iterum eo redit, cum 256x4 et t4 sint quantitates quadrato-quadratae, an duo dari possint numeri quadrato-quadrati, quorum differentia sit numerus quadratus. Esto itaque

Problema IV.

Invenire duos numeros quadrato-quadratos, quorum differentia sit numerus quadratus.

Esto a4-b4 aequalis numero quadrato ex hypothesi. Eritque aa radix ipsius a4 ad bb radicem ipsius b4, ut x+zz/4x ad x-zz/4x, vel etiam uti x+zz/4x ad z, per probl. I. Sed non potest aa esse ad bb ut x+zz/4x ad x-zz/4x. Quod ita probo. Esto

I313

aa ---- bb -----

4aaxx-aazz, = 4bbxx+bbzz

4aaxx-bbzz, = aazz+bbzz

xx = aazz+bbzz/4aa-4bb

Quoniam itaque aazz-bbzz/4aa-4bb = xx numerus debet esse quadratus, erit, si8[L]) denominator 4aa-4bb est numerus quadratus, numerator aazz+bbzz etiam talis (est ipsum Viri illustris pronunciatum). Sed hoc esse non potest. Ergo fractio aazz+bbzz/4aa-4bb non est numerus quadratus. Minorem probo. Statuatur 4aa-4bb aequalis numero quadrato, eritque dividendo per 4 numerum quadratum, quotiens aa-bb etiam numerus quadratus. Statuatur porro aazz+bbzz aequalis numero quadrato, eritque dividendo per zz quadratum, quotiens aa+bb numerus quadratus. Ergo aa-bb et aa+bb simul erunt numeri quadrati. Sed hoc esse non posse, ita demonstro. Ut aa-bb sit numerus quadratus, a debet aequari x+zz/4x, b vero aequari debet vel x-zz/4x vel z, per probl. I. Ut autem aa+bb simul sit numerus quadratus, a debet aequari vel x-zz/4x et b ipsi z, vel etiam a aequari debet ipsi z et b ipsi x-zz/4x, itidem per probl. I. Ergo ut aa-bb et aa+bb simul sint numeri quadrati, a simul debet aequari vel x+zz/4x et x-zz/4x, vel etiam ipsi x+zz/4x et z. Sed a non potest simul aequari x+zz/4x et x-zz/4x, esset enim x+zz/4x = x-zz/4x, pars toti quod est absurdum. Sed nec a simul aequari potest x+zz/4x et z. Esset enim ob

x+zz/4x = z,

4xx+zz = 4xz

zz = 4xz-4xx

z = 2x.

Quod fieri nequit, per probl. I, ubi demonstratum est, numerum 2x majorem esse debere numero z. Ergo aa-bb et aa+bb non possunt simul esse numeri quadrati. Ergo aa non potest esse ad bb, ut x+zz/4x ad x-zz/4x. Ergo nec aa ad bb esse potest, ut x+zz/4x ad z, per coroll. II. probl. I. Ergo a4-b4 non potest esse numerus quadratus, seu quod idem est, problema quartum est impossibile, per coroll. III. probl. I. Ergo et problema III, quod a quarto dependet, impossibile est. Q.E.D.

Atque ita problema Viri illustris bono cum Deo penitus expedivisse mihi videor. Qua in re quid praestiterim, nescio. Illud saltem gratiae ab Algebraicis nostris apponi mihi velim, quod ipsos molesta rerum impossibilium investigatione liberaverim.

Quod ad alterum ejus problema attinet, nempe invenire tres numeros x, y, z, ita ut x-y, x-z, y-z, xx-yy, xx-zz, yy-zz sint numeri quadrati, quod methodo sua solutu facillimum esse profitetur, peto ut ejus exemplum mihi dare ne gravetur Vir illustris, ut videam, problema illud possibile esse methodoque sua solubile. Quod ubi videro, id operam dabo, ut et ego solutionem ejus inveniam. Ego enim, quod pace summi Viri dixero, causam habeo suspicandi, problema illud, cujus solutio hoc scripto continetur, beneficio methodi illius suae non facile solutum iri. Vale etc.

Jeinsae ad d. 10. Octobr. 1679.

1[L]) Non quaeritur an hoc verum, sed an demonstratum. Bemerkung von Leibniz. Ebenso die folgenden.

2[L]) Hoc ne nunc quidem sequi puto.

3[L]) Sed non sequitur, si neuter sit quadratus, fractionem quoque quadratam essa non posse, nisi demonstretur, semper numeratorem et nominatorem talibus terminis expressos esse primos inter se.

4[L]) Ergo omissa ipsius hypothesi de fractione (2b2c-c2)/(2b2-2c), frustra de ea disputatur.

5[L]) Propositio sic formanda esset: Si fractio quadratus et nominator quadratus, tunc et numerator quadratus.

6[L]) Syllogismus non est bonus in forma.

7[L]) Quid si neuter sit quadratus, poterit fractio nihilominus esse quadratus.

8[L]) Sed hoc non est opus, potest enim neuter esse quadratus, et tamen tota fractio quadrata.

1. 1Beilage.